Resolva as equações diferenciais lineares homogêneas ( com coeficientes constantes).
d^2 yd x^2-4 d yd x+8 y=0

Passo 1

Beleza, então temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
d^2 yd x^2 - 4 d yd x + 8 y = 0
Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, que envolve encontrar a solução geral através da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma:
a d^2 yd x^2 + b d yd x + c y = 0
A equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, temos $ a = 1 $, $ b = -4 $ e $ c = 8 $. Então, a equação característica fica:
a = 1

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^{2} - 4 r + 8 = 0 $ para encontrar os valores de $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r^2 - 4 r + 8 = 0
Substituindo os valores:
r
Como temos uma raiz negativa dentro da raiz quadrada, nossos valores de $ r $ serão complexos. Vamos simplificar:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então:
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 82 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 322 = 4 pm raiz-162

Passo 4

Com raízes complexas $ r = 2 \pm 2i $, a solução geral da equação diferencial é dada por:
r = 2 pm 2i
Onde $ \alpha = 2 $ e $ \beta = 2 $. Portanto, substituindo:
y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^2x ( C1 cos(2x) + C2 sin(2x) )
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

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