Resolva as equações diferenciais lineares homogêneas ( com coeficientes constantes).
Passo 1
Beleza, então temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, que envolve encontrar a solução geral através da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, temos $ a = 1 $, $ b = -4 $ e $ c = 8 $. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^{2} - 4 r + 8 = 0 $ para encontrar os valores de $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Como temos uma raiz negativa dentro da raiz quadrada, nossos valores de $ r $ serão complexos. Vamos simplificar:
Então:
Passo 4
Com raízes complexas $ r = 2 \pm 2i $, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde $ \alpha = 2 $ e $ \beta = 2 $. Portanto, substituindo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.