Determine:
cos (pi2-12 arcsen(raiz32)+arctg(13))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor de:
cos (pi2 - 12 arcsen(raiz32) + arctg(13))
Esse problema está dentro da matéria de Trigonometria, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas inversas e identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular ângulos a partir de senos e tangentes, e usar fórmulas de adição de ângulos no cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do cosseno. Olha só:
Precisamos descobrir o valor de cada parte dessa expressão.

Passo 3

Vamos começar encontrando o valor de . A função nos dá o ângulo cujo seno é arcsen(raiz32). Sabemos que:
arcsen
Então,
Agora, substituindo de volta na expressão:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Subtraindo pi2 - pi6 + arctg(13) de pi6:
pi2
Então, nossa expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos chamar de arctg(13), ou seja:
Isso significa que:
theta
Para encontrar theta = arctg(13) , vamos usar a fórmula da soma de ângulos no cosseno:
tan(theta) = 13
Aplicando isso ao nosso caso:
cos(pi3 + theta)

Passo 6

Agora, vamos calcular cos(theta) e sin(theta). Sabemos que:
tan(theta) = 13
Vamos imaginar um triângulo retângulo onde o lado oposto a theta é 1 e o lado adjacente é 3. O hipotenuza será:
raiz1^2 + 3^2 = raiz1 + 9 = raiz10
Então:
cos(theta) = adjacentehipotenuza = 3raiz10
sin(theta) = opostohipotenuza = 1raiz10
Agora, substituindo na fórmula:
cos(pi3) = 12
sin(pi3) = raiz32
Então:
cos(pi3 + theta) = (12) (3raiz10) - (raiz32) (1raiz10)
Simplificando:
= 32raiz10 - raiz32raiz10 = 3 - raiz32raiz10

Passo 7

Para simplificar ainda mais, podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz10:
3 - raiz32raiz10 times raiz10raiz10 = (3 - raiz3)raiz1020 = 3raiz10 - raiz3020

Resposta

Portanto, o valor de
cos (pi2 - 12 arcsen(raiz32) + arctg(13))
é
3raiz10 - raiz3020
ou aproximadamente 0,2588.

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