Determine o domínio e a imagem da função
f(x)=arcsen(x3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! O que a gente tem aqui é para determinar o domínio e a imagem da função . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas inversas, especificamente a arcsen. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de -1 <= x3 <= 1 que a gente pode colocar na função sem causar nenhum problema, tipo divisão por zero ou raiz de número negativo. No caso da função , sabemos que ela só aceita inputs que estejam entre -1 e 1. Então, para a gente ter:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar os valores possíveis de -3 <= x <= 3 . Multiplicando todos os lados da desigualdade por 3 (porque queremos isolar o ), temos:
Então, o domínio da função é todos os números que estão entre -3 e 3.

Passo 4

Agora que já temos o domínio, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode produzir. A função sempre retorna um valor entre e radianos. Então, independentemente do valor de dentro do domínio que encontramos, o resultado da função vai estar sempre nesse intervalo.

Resposta

Portanto, o domínio da função é e a imagem é .

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