Determine o domínio e a imagem da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! O que a gente tem aqui é para determinar o domínio e a imagem da função . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas inversas, especificamente a arcsen. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que a gente pode colocar na função sem causar nenhum problema, tipo divisão por zero ou raiz de número negativo. No caso da função , sabemos que ela só aceita inputs que estejam entre -1 e 1. Então, para a gente ter:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar os valores possíveis de
. Multiplicando todos os lados da desigualdade por 3 (porque queremos isolar o
), temos:
Então, o domínio da função é todos os números
que estão entre -3 e 3.
Passo 4
Agora que já temos o domínio, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode produzir. A função sempre retorna um valor entre
e
radianos. Então, independentemente do valor de
dentro do domínio que encontramos, o resultado da função vai estar sempre nesse intervalo.
Resposta
Portanto, o domínio da função é
e a imagem é
.