- Determine o cosseno do ângulo entre:
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no espaço e pede o cosseno do ângulo entre eles. As informações fornecidas são:
- Primeiro vetor:
. - Segundo vetor:
.
A tarefa é encontrar, onde é o ângulo entre esses dois vetores.
Passo 2
Vamos usar a relação que liga produto escalar e o cosseno do ângulo entre vetores. Primeiro, defino as operações que vou usar:
- Produto escalar de dois vetores
e é
Aqui cada
e
é a componente correspondente dos vetores; o produto escalar soma os produtos componente a componente.
- Norma (comprimento) de um vetor
é
Isso vem do teorema de Pitágoras generalizado para o espaço.
- A relação que liga produto escalar, normas e o cosseno do ângulo
entre e é
Vou calcular o produto escalar e as normas e substituir nessa fórmula.
Passo 3
Calcular o produto escalar
com
e
:
Agora faço cada multiplicação e somo:
Passo 4
Calcular as normas dos vetores:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Substituir o produto escalar e as normas na fórmula do cosseno:
Simplifico o denominador:
portanto
Se quiser racionalizar o denominador:
Como valor aproximado (útil para sentir a magnitude):
Um comentário didático final: o sinal negativo indica que o ângulo é maior que
(ângulo obtuso), mas a questão pediu apenas o cosseno, que já encontramos.