1. Determine o cosseno do ângulo entre:
(1,2,3),(0,1,-1)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no espaço e pede o cosseno do ângulo entre eles. As informações fornecidas são:
  • Primeiro vetor: (1,2,3).
  • Segundo vetor: (0,1,-1).
    A tarefa é encontrar \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre esses dois vetores.

Passo 2

Vamos usar a relação que liga produto escalar e o cosseno do ângulo entre vetores. Primeiro, defino as operações que vou usar:
  • Produto escalar de dois vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui cada a_i e b_i é a componente correspondente dos vetores; o produto escalar soma os produtos componente a componente.
  • Norma (comprimento) de um vetor \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) é
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Isso vem do teorema de Pitágoras generalizado para o espaço.
  • A relação que liga produto escalar, normas e o cosseno do ângulo \theta entre \mathbf{a} e \mathbf{b} é
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}.
Vou calcular o produto escalar e as normas e substituir nessa fórmula.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} com \mathbf{a}=(1,2,3) e \mathbf{b}=(0,1,-1):
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\cdot0 + 2\cdot1 + 3\cdot(-1).
Agora faço cada multiplicação e somo:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 + 2 - 3 = -1.

Passo 4

Calcular as normas dos vetores:
  • Para \mathbf{a}=(1,2,3):
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
  • Para \mathbf{b}=(0,1,-1):
\|\mathbf{b}\|=\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}.

Passo 5

Substituir o produto escalar e as normas na fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}=\frac{-1}{\sqrt{14}\,\sqrt{2}}.
Simplifico o denominador:
\sqrt{14}\,\sqrt{2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7},
portanto
\cos\theta=-\frac{1}{2\sqrt{7}}.
Se quiser racionalizar o denominador:
\cos\theta=-\frac{\sqrt{7}}{14}.
Como valor aproximado (útil para sentir a magnitude):
\cos\theta\approx -0{,}189.
Um comentário didático final: o sinal negativo indica que o ângulo é maior que 90^\circ (ângulo obtuso), mas a questão pediu apenas o cosseno, que já encontramos.

Resposta

\cos\theta=-\dfrac{1}{2\sqrt{7}}=-\dfrac{\sqrt{7}}{14}\approx-0{,}189

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