Determine o cosseno do ângulo entre os planos de equações 2 x-y+z=0 e x+2 y-z=1.

Passo 1

O enunciado pede o cosseno do ângulo entre os planos de equações 2x – y + z = 0 e x + 2y – z = 1. O conteúdo é geometria analítica, mais precisamente a relação entre o ângulo de dois planos e seus vetores normais. Vamos precisar extrair os vetores normais de cada plano, usar o produto escalar e as normas para aplicar a fórmula de cosseno do ângulo.

Passo 2

Para cada plano da forma ax + by + cz + d = 0, o vetor normal é (a,b,c). No nosso caso, o primeiro plano 2x – y + z = 0 tem normal n₁ = (2, –1, 1) e o segundo plano x + 2y – z = 1 pode ser escrito como x + 2y – z – 1 = 0, então sua normal é n₂ = (1, 2, –1).

Passo 3

O produto escalar de n₁ = (2,–1,1) e n₂ = (1,2,–1) é dado por n₁·n₂ = 2·1 + (–1)·2 + 1·(–1). Calculando, temos n₁·n₂ = 2 – 2 – 1 = –1. O valor absoluto do produto escalar é |n₁·n₂| = 1.

Passo 4

A norma de um vetor (a,b,c) é |(a,b,c)| = √(a² + b² + c²). Assim,
|n1| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz6,
|n2| = raiz1^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz6

Passo 5

O cosseno do ângulo θ entre os planos é o mesmo cosseno do ângulo entre os vetores normais, dado por
costheta = |n1 cdot n2||n1|,|n2| = 1raiz6,raiz6 = 16

Resposta

16

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