Determine as interseções da reta A B sobre os planos coordenados, sendo A=(3,1,-1) e B=(2,-3,5). resp.: (17 / 6,1 / 3,0),(0,-11,17),(11 / 4,0,1 / 2).

Passo 1

O enunciado pede: determinar as interseções da reta AB com os planos coordenados. Dados fornecidos: A=(3,1,-1) e B=(2,-3,5).
Informações relevantes listadas:
  • Coordenadas de A: (3,1,-1).
  • Coordenadas de B: (2,-3,5).
  • Os planos coordenados que vamos intersectar são: o plano xy (onde z=0), o plano yz (onde x=0) e o plano xz (onde y=0).

Passo 2

Vamos escrever a reta AB em forma paramétrica — isso é prático porque permite “varrer” todos os pontos da reta com um parâmetro t. Primeiro encontramos o vetor direção \vec{v}=\overrightarrow{AB}. Calculamos componente a componente:
\vec{v}=\overrightarrow{AB}=B-A=(2-3,\,-3-1,\,5-(-1))=(-1,\,-4,\,6).
A forma vetorial paramétrica da reta, tomando t\in\mathbb{R}, é
\vec{r}(t)=\vec{A}+t\vec{v}.
Em coordenadas isso dá as equações paramétricas (cada uma isolada para não misturar bloco de fórmula com texto):
x=3-t,
y=1-4t,
z=-1+6t.
Explicação do que é t: é um número real que percorre a reta; t=0 corresponde a A e t=1 corresponde a B. Para qualquer outro t obtemos outros pontos da reta.

Passo 3

Recordando os planos coordenados (curto e direto):
  • Plano xy é dado por z=0.
  • Plano yz é dado por x=0.
  • Plano xz é dado por y=0.
    Para achar a interseção da reta com cada plano, substituímos a equação do plano na equação paramétrica apropriada e resolvemos para t; depois usamos esse t para obter as outras coordenadas.

Passo 4

Interseção com o plano xy ( z=0).
Usamos a equação de z:
-1+6t=0.
Resolvendo:
6t=1 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{6}.
Agora substituímos t=\frac{1}{6} nas equações de x e y:
x=3-\frac{1}{6}=\frac{18}{6}-\frac{1}{6}=\frac{17}{6},
y=1-4\cdot\frac{1}{6}=1-\frac{4}{6}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
Portanto o ponto de interseção com o plano xy é \left(\frac{17}{6},\frac{1}{3},0\right). (Observação amigável: t=\frac{1}{6} está entre 0 e 1, então esse ponto fica entre A e B no segmento.)

Passo 5

Interseção com o plano yz ( x=0).
Usamos a equação de x:
3-t=0.
Resolvendo:
t=3.
Substituímos t=3 nas outras equações:
y=1-4\cdot 3=1-12=-11,
z=-1+6\cdot 3=-1+18=17.
Logo o ponto de interseção com o plano yz é (0,-11,17). (Aqui t=3 está fora do intervalo [0,1], então esse ponto está na reta estendida além de B.)

Passo 6

Interseção com o plano xz ( y=0).
Usamos a equação de y:
1-4t=0.
Resolvendo:
4t=1 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{4}.
Substituímos t=\frac{1}{4} nas equações de x e z:
x=3-\frac{1}{4}=\frac{12}{4}-\frac{1}{4}=\frac{11}{4},
z=-1+6\cdot\frac{1}{4}=-1+\frac{6}{4}=-1+\frac{3}{2}=-\frac{2}{2}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.
Assim o ponto de interseção com o plano xz é \left(\frac{11}{4},0,\frac{1}{2}\right).

Passo 7

Resumo rápido de verificação (checar que cada ponto realmente satisfaz a equação do plano e as paramétricas): para cada ponto achado usei um t que veio diretamente de igualar a coordenada do plano; ao substituir esse t nas outras coordenadas obtive exatamente as componentes dos pontos indicados. Tudo consistente.

Resposta

\left(\dfrac{17}{6},\dfrac{1}{3},0\right)
(0,-11,17)
\left(\dfrac{11}{4},0,\dfrac{1}{2}\right)

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