Determine a covariância e a correlação para a função densidade de probabilidade conjunta,
para a faixa de
e
.
Passo 1
O enunciado dá a densidade de probabilidade conjunta
para a faixa
e
. O que é pedido:
- Determinar a covariância entre
e , isto é . - Determinar a correlação entre
e , isto é .
Informações relevantes fornecidas:
- A função conjunta é
para e . - Implicitamente,
fora dessa região.
Passo 2
Vamos obter as densidades marginais (pegando os dados da densidade conjunta). A densidade marginal de
é
Como
é constante em relação a
, tira-se fora da integral:
A integral
, portanto
Analogamente, a densidade marginal de
é
Passo 3
Observação importante (tirada dos resultados das marginais): a densidade conjunta se factoriza como produto das marginais,
Quando a densidade conjunta fatoriza assim para todo
na região, conclui-se que
e
são variáveis independentes. Uma consequência prática: para variáveis independentes vale
Mas ainda vamos calcular explicitamente as esperanças e variâncias para mostrar passo a passo.
Passo 4
Cálculo das esperanças
e
(uso de integração por partes).
Para :
Para
Fazendo integração por partes: tomar
e
. Então
e
. Assim
O termo de borda
e no zero vale
, então o primeiro termo é
. A segunda integral é
. Logo
Pelo mesmo raciocínio (simetria do problema),
Passo 5
Cálculo das segundas momentos e variâncias. Primeiro
:
Usa-se integração por partes duas vezes ou reconhecer a relação com a função Gamma. Fazendo por partes: tomar
,
dá
,
, então
O termo de borda é
novamente, e a integral restante é
vezes a integral do Passo 4, que vale
. Portanto
Logo a variância de
é
Pelo mesmo raciocínio,
Passo 6
Cálculo de
e da covariância. Usando a densidade conjunta (peguei essa densidade do enunciado),
Como a integranda se separa, pode-se escrever
Cada fator é
(Passo 4), então
Agora a covariância é
Interpretação rápida: as variáveis independentes que aqui têm essa fatorização têm covariância zero (são não correlacionadas).
Passo 7
Cálculo da correlação linear
. A correlação é definida por
Substituindo os valores que encontramos (
,
,
),
Conclusão: covariance zero e correlação zero.