Determine a covariância e a correlação para a função densidade de probabilidade conjunta, f_{Y Y}(x, y)=e^{-x-y} para a faixa de 0<x e 0<y.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade conjunta
f_{X,Y}(x,y)=e^{-x-y}
para a faixa 0<x e 0<y. O que é pedido:
  • Determinar a covariância entre X e Y, isto é \operatorname{Cov}(X,Y).
  • Determinar a correlação entre X e Y, isto é \rho_{X,Y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função conjunta é f_{X,Y}(x,y)=e^{-x-y} para x>0 e y>0.
  • Implicitamente, f_{X,Y}(x,y)=0 fora dessa região.

Passo 2

Vamos obter as densidades marginais (pegando os dados da densidade conjunta). A densidade marginal de X é
f_X(x)=\int_{0}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)\,dy=\int_{0}^{\infty} e^{-x-y}\,dy.
Como e^{-x} é constante em relação a y, tira-se fora da integral:
f_X(x)=e^{-x}\int_{0}^{\infty} e^{-y}\,dy.
A integral \int_{0}^{\infty} e^{-y}\,dy=1, portanto
f_X(x)=e^{-x}\quad\text{para }x>0.
Analogamente, a densidade marginal de Y é
f_Y(y)=\int_{0}^{\infty} e^{-x-y}\,dx=e^{-y}\quad\text{para }y>0.

Passo 3

Observação importante (tirada dos resultados das marginais): a densidade conjunta se factoriza como produto das marginais,
f_{X,Y}(x,y)=e^{-x-y}=e^{-x}\,e^{-y}=f_X(x)f_Y(y).
Quando a densidade conjunta fatoriza assim para todo x,y na região, conclui-se que X e Y são variáveis independentes. Uma consequência prática: para variáveis independentes vale
\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y].
Mas ainda vamos calcular explicitamente as esperanças e variâncias para mostrar passo a passo.

Passo 4

Cálculo das esperanças \mathbb{E}[X] e \mathbb{E}[Y] (uso de integração por partes).
Para \mathbb{E}[X]:
\mathbb{E}[X]=\int_{0}^{\infty} x f_X(x)\,dx=\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx.
Fazendo integração por partes: tomar u=x e dv=e^{-x}dx. Então du=dx e v=-e^{-x}. Assim
\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx = \Big[-x e^{-x}\Big]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx.
O termo de borda \lim_{x\to\infty} x e^{-x}=0 e no zero vale 0, então o primeiro termo é 0. A segunda integral é 1. Logo
\mathbb{E}[X]=1.
Pelo mesmo raciocínio (simetria do problema),
\mathbb{E}[Y]=1.

Passo 5

Cálculo das segundas momentos e variâncias. Primeiro \mathbb{E}[X^2]:
\mathbb{E}[X^2]=\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x}\,dx.
Usa-se integração por partes duas vezes ou reconhecer a relação com a função Gamma. Fazendo por partes: tomar u=x^2, dv=e^{-x}dx du=2x dx, v=-e^{-x}, então
\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x}\,dx = \Big[-x^2 e^{-x}\Big]_0^{\infty} + \int_{0}^{\infty} 2x e^{-x}\,dx.
O termo de borda é 0 novamente, e a integral restante é 2 vezes a integral do Passo 4, que vale 1. Portanto
\mathbb{E}[X^2]=2.
Logo a variância de X é
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^2=2-1^2=1.
Pelo mesmo raciocínio,
\operatorname{Var}(Y)=1.

Passo 6

Cálculo de \mathbb{E}[XY] e da covariância. Usando a densidade conjunta (peguei essa densidade do enunciado),
\mathbb{E}[XY]=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} x y\, e^{-x-y}\,dx\,dy.
Como a integranda se separa, pode-se escrever
\mathbb{E}[XY]=\left(\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx\right)\left(\int_{0}^{\infty} y e^{-y}\,dy\right).
Cada fator é \mathbb{E}[X]=1 (Passo 4), então
\mathbb{E}[XY]=1\cdot 1=1.
Agora a covariância é
\operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]=1-1\cdot 1=0.
Interpretação rápida: as variáveis independentes que aqui têm essa fatorização têm covariância zero (são não correlacionadas).

Passo 7

Cálculo da correlação linear \rho_{X,Y}. A correlação é definida por
\rho_{X,Y}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\,\operatorname{Var}(Y)}}.
Substituindo os valores que encontramos ( \operatorname{Cov}(X,Y)=0, \operatorname{Var}(X)=1, \operatorname{Var}(Y)=1),
\rho_{X,Y}=\frac{0}{\sqrt{1\cdot 1}}=0.
Conclusão: covariance zero e correlação zero.

Resposta

\operatorname{Cov}(X,Y)=0
\rho_{X,Y}=0

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