Determine o valor de
que torna a função
uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa
. Determine o seguinte:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g. Distribuição de probabilidades marginais de
.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g. Distribuição de probabilidades marginais de
Passo 1
O enunciado dá a função conjunta
sobre a faixa
(assumir que isso significa o conjunto
). Preciso determinar
e as probabilidades/esperanças pedidas:
-
Informações dadas:
-
no domínio . - Fora desse domínio,
.
-
-
Perguntas:
(a)
(b)(probabilidade marginal de estar entre 1 e 2)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) distribuição marginal de, isto é .
A partir daqui vou calcular passo a passo, explicando as integrais, a marginalização e como calcular expectativas.
Passo 2
Determinar
exigindo que a densidade integre 1 no domínio. A condição é
Resolvendo a integral em ordem
depois
:
Calcule a integral interna (regra básica para exponenciais):
Substituindo:
Usar a fórmula
para
:
Impor igualdade a 1 dá
, portanto
Pequeno resumo: o processo foi usar marginalização pela integração dupla e propriedades elementares de exponenciais; chegamos em
.
Passo 3
Calcular (a)
.
Região:
, com as restrições
e
. Para integrar, para cada
o
vai de
até
. Então particiona-se
em
e
.
Assim
Calcule a primeira integral: já vimos que
. Então
Calcule a segunda integral:
, então
Agora simplificar: para
podemos escrever
após reduzir frações (detalhes algébricos mostrados no cálculo). Para
expande-se e combina termos; somando
e simplificando obtém-se a forma compacta
(Se preferir, essa expressão pode ser avaliada numericamente: aproximadamente
.)
Passo 4
Calcular (b)
(marginal em
). A forma padrão é integrar a densidade conjunta sobre
dado
:
Integre em
primeiro:
Logo o integrando em
fica
Portanto
Passo 5
Calcular (c)
. Integrar em
de
a
e
de
a
:
Assim
Simplificando:
Numericamente é muito pequeno (aprox.
).
Passo 6
Calcular (d)
.
Aqui
varia de
a
e para cada
temos
. Então
Calculando e simplificando obtemos
(Valor numérico aproximado
.)
Passo 7
Calcular (e)
. Fórmula:
Integra-se em
primeiro. Precisamos da integral
Usar integração por partes ou a primitiva conhecida: se
e
então
Avaliando de
a
:
Logo
Separe as parcelas:
Usar as fórmulas
e
. Com
e
:
Calcule passo a passo:
Somando dentro dos parênteses:
Multiplicando por
dá
Portanto
.
Passo 8
Calcular (f)
.
Fórmula:
Já sabemos
. Assim
Usar
. Logo
Calcule a diferença:
Então
Portanto
.
Passo 9
Calcular (g) a distribuição marginal de
,
.
Definição:
. Aqui o suporte implica
vai de
a
(para
). Então
Calcule a integral em
:
Portanto
E fora disso
para
.
Observação didática: essa é a densidade exponencial com parâmetro
. Confirmação rápida:
e a média dessa exponencial é
, que bate com
calculado antes.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
para
e
para
.