Determine o valor de c que torna a função f(x, y)=c e^{-2 x-3 y} uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa 0<x \mathrm{e} x<y. Determine o seguinte:
a. P(X<1, Y<2)
b. P(1<X<2)
c. P(Y>3)
d. P(X<2, Y<2)
e. E(X)
f. E(Y)
g. Distribuição de probabilidades marginais de X.

Passo 1

O enunciado dá a função conjunta
f(x,y)=c\,e^{-2x-3y}
sobre a faixa 0<x<y (assumir que isso significa o conjunto \{(x,y):0<x<y<\infty\}). Preciso determinar c e as probabilidades/esperanças pedidas:
  • Informações dadas:
    • f(x,y)=c e^{-2x-3y} no domínio \{(x,y):0<x<y<\infty\}.
    • Fora desse domínio, f(x,y)=0.
  • Perguntas:
    (a) P(X<1,Y<2)
    (b) P(1<X<2) (probabilidade marginal de X estar entre 1 e 2)
    (c) P(Y>3)
    (d) P(X<2,Y<2)
    (e) E(X)
    (f) E(Y)
    (g) distribuição marginal de X, isto é f_X(x).
A partir daqui vou calcular passo a passo, explicando as integrais, a marginalização e como calcular expectativas.

Passo 2

Determinar c exigindo que a densidade integre 1 no domínio. A condição é
\iint_{0<x<y<\infty} c e^{-2x-3y}\,dx\,dy = 1.
Resolvendo a integral em ordem x depois y:
\int_{y=0}^{\infty}\int_{x=0}^{y} c e^{-2x-3y}\,dx\,dy = c\int_{0}^{\infty} e^{-3y}\left(\int_{0}^{y} e^{-2x}\,dx\right)dy.
Calcule a integral interna (regra básica para exponenciais):
\int_{0}^{y} e^{-2x}\,dx = \left[-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{y} = \tfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-2y}\bigr).
Substituindo:
c\int_{0}^{\infty} e^{-3y}\cdot \tfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-2y}\bigr)\,dy = \tfrac{c}{2}\left(\int_{0}^{\infty} e^{-3y}\,dy - \int_{0}^{\infty} e^{-5y}\,dy\right).
Usar a fórmula \int_{0}^{\infty} e^{-a y}\,dy = \tfrac{1}{a} para a>0:
\tfrac{c}{2}\left(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}\right) = \tfrac{c}{2}\cdot \tfrac{2}{15} = \tfrac{c}{15}.
Impor igualdade a 1 dá \tfrac{c}{15}=1, portanto
c=15.
Pequeno resumo: o processo foi usar marginalização pela integração dupla e propriedades elementares de exponenciais; chegamos em c=15.

Passo 3

Calcular (a) P(X<1,Y<2).
Região: 0<x<y, com as restrições x<1 e y<2. Para integrar, para cada y\in(0,2) o x vai de 0 até \min(y,1). Então particiona-se y em [0,1] e [1,2].
Assim
P(X<1,Y<2) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{y} 15 e^{-2x-3y}\,dx\,dy + \int_{1}^{2}\int_{0}^{1} 15 e^{-2x-3y}\,dx\,dy.
Calcule a primeira integral: já vimos que \int_{0}^{y} e^{-2x}\,dx=\tfrac{1}{2}(1-e^{-2y}). Então
I_1 = 15\int_{0}^{1} e^{-3y}\cdot \tfrac{1}{2}(1-e^{-2y})\,dy = \tfrac{15}{2}\Bigl(\int_{0}^{1} e^{-3y}\,dy - \int_{0}^{1} e^{-5y}\,dy\Bigr).
Calcule a segunda integral: \int_{0}^{1} e^{-2x}\,dx=\tfrac{1}{2}(1-e^{-2}), então
I_2 = 15\cdot \tfrac{1}{2}(1-e^{-2})\int_{1}^{2} e^{-3y}\,dy = \tfrac{15}{2}(1-e^{-2})\cdot \tfrac{e^{-3}-e^{-6}}{3}.
Agora simplificar: para I_1 podemos escrever
I_1 = \tfrac{15}{2}\Bigl(\tfrac{1-e^{-3}}{3}-\tfrac{1-e^{-5}}{5}\Bigr) = 1 - \tfrac{5}{2}e^{-3} + \tfrac{3}{2}e^{-5},
após reduzir frações (detalhes algébricos mostrados no cálculo). Para I_2 expande-se e combina termos; somando I_1+I_2 e simplificando obtém-se a forma compacta
P(X<1,Y<2)=1 - e^{-5} - \tfrac{5}{2}e^{-6} + \tfrac{5}{2}e^{-8}.
(Se preferir, essa expressão pode ser avaliada numericamente: aproximadamente 0{,}9879.)

Passo 4

Calcular (b) P(1<X<2) (marginal em X). A forma padrão é integrar a densidade conjunta sobre y dado x:
P(1<X<2)=\int_{x=1}^{2}\int_{y=x}^{\infty} 15 e^{-2x-3y}\,dy\,dx.
Integre em y primeiro:
\int_{y=x}^{\infty} e^{-3y}\,dy = \tfrac{e^{-3x}}{3}.
Logo o integrando em x fica
\int_{1}^{2} 15 e^{-2x}\cdot \tfrac{e^{-3x}}{3}\,dx = \int_{1}^{2} 5 e^{-5x}\,dx = \bigl[e^{-5x} \bigr]_{1}^{2} = e^{-5} - e^{-10}.
Portanto
P(1<X<2)= e^{-5} - e^{-10}.

Passo 5

Calcular (c) P(Y>3). Integrar em x de 0 a y e y de 3 a +\infty:
P(Y>3)=\int_{y=3}^{\infty}\int_{x=0}^{y} 15 e^{-2x-3y}\,dx\,dy = 15\int_{3}^{\infty} e^{-3y}\cdot \tfrac{1}{2}(1-e^{-2y})\,dy.
Assim
P(Y>3)=\tfrac{15}{2}\Bigl(\int_{3}^{\infty} e^{-3y}\,dy - \int_{3}^{\infty} e^{-5y}\,dy\Bigr) = \tfrac{15}{2}\Bigl(\tfrac{e^{-9}}{3} - \tfrac{e^{-15}}{5}\Bigr).
Simplificando:
P(Y>3)=\tfrac{5}{2}e^{-9} - \tfrac{3}{2}e^{-15}.
Numericamente é muito pequeno (aprox. 3{,}08\times10^{-4}).

Passo 6

Calcular (d) P(X<2,Y<2).
Aqui y varia de 0 a 2 e para cada y temos x\in(0,y). Então
P(X<2,Y<2)=\int_{0}^{2}\int_{0}^{y} 15 e^{-2x-3y}\,dx\,dy = \tfrac{15}{2}\Bigl(\int_{0}^{2} e^{-3y}\,dy - \int_{0}^{2} e^{-5y}\,dy\Bigr).
Calculando e simplificando obtemos
P(X<2,Y<2)=1 - \tfrac{5}{2}e^{-6} + \tfrac{3}{2}e^{-10}.
(Valor numérico aproximado 0{,}9939.)

Passo 7

Calcular (e) E(X). Fórmula:
E(X)=\iint_{0<x<y<\infty} x\cdot 15 e^{-2x-3y}\,dx\,dy.
Integra-se em x primeiro. Precisamos da integral
\int_{0}^{y} x e^{-2x}\,dx.
Usar integração por partes ou a primitiva conhecida: se u=x e dv=e^{-2x}dx então
\int x e^{-2x}\,dx = -\tfrac{x}{2}e^{-2x} - \tfrac{1}{4}e^{-2x} + C.
Avaliando de 0 a y:
\int_{0}^{y} x e^{-2x}\,dx = \tfrac{1}{4} -\Bigl(\tfrac{y}{2}+\tfrac{1}{4}\Bigr)e^{-2y}.
Logo
E(X)=15\int_{0}^{\infty} e^{-3y}\Bigl(\tfrac{1}{4} -\Bigl(\tfrac{y}{2}+\tfrac{1}{4}\Bigr)e^{-2y}\Bigr)\,dy.
Separe as parcelas:
E(X)=15\Bigl(\tfrac{1}{4}\int_{0}^{\infty} e^{-3y}dy - \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\infty} y e^{-5y}dy - \tfrac{1}{4}\int_{0}^{\infty} e^{-5y}dy\Bigr).
Usar as fórmulas \int_{0}^{\infty} e^{-a y}dy=\tfrac{1}{a} e \int_{0}^{\infty} y e^{-a y}dy=\tfrac{1}{a^{2}}. Com a=3 e a=5:
E(X)=15\Bigl(\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{25} - \tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{5}\Bigr).
Calcule passo a passo:
\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{12},\quad \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{25}=\tfrac{1}{50},\quad \tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{5}=\tfrac{1}{20}.
Somando dentro dos parênteses:
\tfrac{1}{12}-\tfrac{1}{50}-\tfrac{1}{20} = \tfrac{25-6-15}{300} = \tfrac{4}{300} = \tfrac{1}{75}.
Multiplicando por 15
E(X)=15\cdot \tfrac{1}{75} = \tfrac{1}{5}.
Portanto E(X)=\tfrac{1}{5}=0{,}2.

Passo 8

Calcular (f) E(Y).
Fórmula:
E(Y)=\iint_{0<x<y<\infty} y\cdot 15 e^{-2x-3y}\,dx\,dy =15\int_{0}^{\infty} y e^{-3y}\Bigl(\int_{0}^{y} e^{-2x}\,dx\Bigr)dy.
Já sabemos \int_{0}^{y} e^{-2x}\,dx=\tfrac{1}{2}(1-e^{-2y}). Assim
E(Y)=\tfrac{15}{2}\Bigl(\int_{0}^{\infty} y e^{-3y}\,dy - \int_{0}^{\infty} y e^{-5y}\,dy\Bigr).
Usar \int_{0}^{\infty} y e^{-a y}\,dy = \tfrac{1}{a^{2}}. Logo
E(Y)=\tfrac{15}{2}\Bigl(\tfrac{1}{3^{2}} - \tfrac{1}{5^{2}}\Bigr) = \tfrac{15}{2}\Bigl(\tfrac{1}{9}-\tfrac{1}{25}\Bigr).
Calcule a diferença:
\tfrac{1}{9}-\tfrac{1}{25} = \tfrac{25-9}{225} = \tfrac{16}{225}.
Então
E(Y)=\tfrac{15}{2}\cdot \tfrac{16}{225} = \tfrac{240}{450} = \tfrac{8}{15}.
Portanto E(Y)=\tfrac{8}{15}\approx 0{,}5333.

Passo 9

Calcular (g) a distribuição marginal de X, f_X(x).
Definição: f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy. Aqui o suporte implica y vai de x a +\infty (para x>0). Então
f_X(x)=\int_{y=x}^{\infty} 15 e^{-2x-3y}\,dy = 15 e^{-2x}\int_{x}^{\infty} e^{-3y}\,dy.
Calcule a integral em y:
\int_{x}^{\infty} e^{-3y}\,dy = \tfrac{e^{-3x}}{3}.
Portanto
f_X(x)=15 e^{-2x}\cdot \tfrac{e^{-3x}}{3} = 5 e^{-5x},\qquad x>0.
E fora disso f_X(x)=0 para x\le 0.
Observação didática: essa é a densidade exponencial com parâmetro \lambda=5. Confirmação rápida: \int_{0}^{\infty} 5 e^{-5x}\,dx =1 e a média dessa exponencial é 1/5, que bate com E(X) calculado antes.

Resposta

(a) \;1 - e^{-5} - \tfrac{5}{2}e^{-6} + \tfrac{5}{2}e^{-8}
(b) \;e^{-5} - e^{-10}
(c) \;\tfrac{5}{2}e^{-9} - \tfrac{3}{2}e^{-15}
(d) \;1 - \tfrac{5}{2}e^{-6} + \tfrac{3}{2}e^{-10}
(e) \;\tfrac{1}{5}
(f) \;\tfrac{8}{15}
(g) \;f_X(x)=5e^{-5x} para x>0 e f_X(x)=0 para x\le 0.

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