e
são variáveis aleatórias normais e independentes, com
e
.
Determine o seguinte:
a.
b.
c.
d.
Determine o seguinte:
a.
b.
c.
d.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas retiradas do enunciado):
-
e são variáveis aleatórias normais e independentes. -
. -
. -
. -
.
As perguntas são:
a. Calcular .
b. Calcular .
c. Calcular .
d. Calcular .
a. Calcular
b. Calcular
c. Calcular
d. Calcular
Passo 2
Como calcular esperanças de combinações lineares — aula curta e prática:
- Regra fundamental: para quaisquer constantes
e variáveis ,
Aqui
e
. Aplicando a fórmula:
Agora faço a conta passo a passo:
Portanto
.
Passo 3
Como calcular variâncias de combinações lineares quando as variáveis são independentes — explicando devagar:
- Regra: se
e são independentes, então e
(O termo misto
some porque a covariância é zero pela independência.)
Aqui ,
,
,
. Substituindo:
Aqui
Faço as contas:
Portanto
. Também útil: o desvio-padrão é
Passo 4
Distribuição da combinação linear e cálculo de
:
- Fato importante: uma combinação linear de variáveis normais independentes é normal. Logo
- Para calcular probabilidades usamos padronização: se
então
onde
(normal padrão) e
.
Agora para
:
Logo
Pela simetria da normal padrão,
. Portanto
Passo 5
Cálculo de
passo a passo:
- Primeiro padronizo para
:
- Calculo numérico aproximado de
: . Então
- Portanto
onde
é a função de distribuição da normal padrão. Para obter um valor numérico consultamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora). Usando interpolação entre valores de tabela:
Interpolando para
obtém-se aproximadamente
. Então
Resposta
a.
b.
c.
d.
b.
c.
d.