X e Y são variáveis aleatórias normais e independentes, com E(X)=2, V(X)=5, E(Y)=6 e V(Y)=8.
Determine o seguinte:
a. E(3 X+2 Y)
b. V(3 X+2 Y)
c. P(3 X+2 Y<18)
d. P(3 X+2 Y<28)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas retiradas do enunciado):
  • X e Y são variáveis aleatórias normais e independentes.
  • E(X)=2.
  • V(X)=5.
  • E(Y)=6.
  • V(Y)=8.
As perguntas são:
a. Calcular E(3X+2Y).
b. Calcular V(3X+2Y).
c. Calcular P(3X+2Y<18).
d. Calcular P(3X+2Y<28).

Passo 2

Como calcular esperanças de combinações lineares — aula curta e prática:
  • Regra fundamental: para quaisquer constantes a,b e variáveis X,Y,
E(aX+bY)=a\,E(X)+b\,E(Y).
Aqui a=3 e b=2. Aplicando a fórmula:
E(3X+2Y)=3\,E(X)+2\,E(Y)=3\cdot2+2\cdot6.
Agora faço a conta passo a passo:
3\cdot2=6,\qquad 2\cdot6=12,\qquad 6+12=18.
Portanto E(3X+2Y)=18.

Passo 3

Como calcular variâncias de combinações lineares quando as variáveis são independentes — explicando devagar:
  • Regra: se X e Y são independentes, então \operatorname{Cov}(X,Y)=0 e
V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y).
(O termo misto 2ab\,\operatorname{Cov}(X,Y) some porque a covariância é zero pela independência.)
Aqui a=3, b=2, V(X)=5, V(Y)=8. Substituindo:
V(3X+2Y)=3^{2}\cdot5+2^{2}\cdot8.
Faço as contas:
3^{2}\cdot5=9\cdot5=45,\qquad 2^{2}\cdot8=4\cdot8=32,
45+32=77.
Portanto V(3X+2Y)=77. Também útil: o desvio-padrão é
\sqrt{V(3X+2Y)}=\sqrt{77}\approx 8,774964\ldots

Passo 4

Distribuição da combinação linear e cálculo de P(3X+2Y<18):
  • Fato importante: uma combinação linear de variáveis normais independentes é normal. Logo
W:=3X+2Y\sim N\bigl(E(W),\,V(W)\bigr)=N\bigl(18,\,77\bigr).
  • Para calcular probabilidades usamos padronização: se W\sim N(\mu,\sigma^{2}) então
P(W<w)=P\!\left(Z<\frac{w-\mu}{\sigma}\right),
onde Z\sim N(0,1) (normal padrão) e \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}.
Agora para w=18:
\frac{w-\mu}{\sigma}=\frac{18-18}{\sqrt{77}}=\frac{0}{\sqrt{77}}=0.
Logo
P(3X+2Y<18)=P\bigl(Z<0\bigr).
Pela simetria da normal padrão, P(Z<0)=0,5. Portanto
P(3X+2Y<18)=0,5.

Passo 5

Cálculo de P(3X+2Y<28) passo a passo:
  • Primeiro padronizo para w=28:
Z=\frac{28-18}{\sqrt{77}}=\frac{10}{\sqrt{77}}.
  • Calculo numérico aproximado de \sqrt{77}: \sqrt{77}\approx 8,774964. Então
\frac{10}{\sqrt{77}}\approx\frac{10}{8,774964}\approx 1,1394.
  • Portanto
P(3X+2Y<28)=P\bigl(Z<1,1394\bigr)=\Phi(1,1394),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão. Para obter um valor numérico consultamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora). Usando interpolação entre valores de tabela:
\Phi(1,13)\approx0,8708,\qquad \Phi(1,14)\approx0,8729.
Interpolando para 1,1394 obtém-se aproximadamente 0,8728. Então
P(3X+2Y<28)\approx 0,8728.

Resposta

a. E(3X+2Y)=18
b. V(3X+2Y)=77
c. P(3X+2Y<18)=0,5
d. P(3X+2Y<28)\approx0,8728

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