Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta:
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1,0 | 1 |
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1,5 | 2 |
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1,5 | 3 |
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2,5 | 4 |
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3 | 5 |
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Determine o seguinte:
a)
a)
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma determinada função é uma função de probabilidade conjunta e, em seguida, calcular a probabilidade de que $ X < 2,5 $ e $ Y < 3 $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade conjunta, que envolvem verificar se a função satisfaz certas propriedades básicas e depois calcular a probabilidade desejada somando as probabilidades das combinações que atendem às condições dadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a função apresentada satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta. Existem duas propriedades principais que devemos checar:
- Não negatividade: Todas as probabilidades devem ser maiores ou iguais a zero.
- Soma das probabilidades igual a 1: A soma de todas as probabilidades para todos os possíveis valores de $ X $ e $ Y $ deve ser igual a 1.
Passo 3
Vamos começar verificando a não negatividade. Observando a tabela:
$ x $ | $ y $ | $ f_{XY}(x, y) $ |
---|---|---|
1,0 | 1 | $ \frac{1}{4} $ |
1,5 | 2 | $ \frac{1}{8} $ |
1,5 | 3 | $ \frac{1}{4} $ |
2,5 | 4 | $ \frac{1}{4} $ |
3 | 5 | $ \frac{1}{8} $ |
Todas as probabilidades são positivas, então a primeira propriedade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a soma de todas as probabilidades é igual a 1. Somando os valores de $ f_{XY}(x, y) $:
Como a soma total é igual a 1, a segunda propriedade também está satisfeita.
Passo 5
Agora que confirmamos que $ f_{XY}(x, y) $ é uma função de probabilidade conjunta válida, vamos calcular $ P(X < 2,5, Y < 3) $. Isso significa que precisamos somar as probabilidades das combinações de $ x $ e $ y $ que atendem a $ X < 2,5 $ e $ Y < 3 $.
Vamos analisar cada linha da tabela:
- $ x = 1,0 < 2,5 $ e $ y = 1 < 3 $ ⇒ Incluído ($ \frac{1}{4} $)
- $ x = 1,5 < 2,5 $ e $ y = 2 < 3 $ ⇒ Incluído ($ \frac{1}{8} $)
- $ x = 1,5 < 2,5 $ e $ y = 3 $ não é menor que 3 ⇒ Excluído
- $ x = 2,5 $ não é menor que 2,5 ⇒ Excluído
- $ x = 3 > 2,5 $ ⇒ Excluído
Portanto, as probabilidades que vamos somar são $ \frac{1}{4} $ e $ \frac{1}{8} $.
Resposta
A probabilidade $ P(X < 2,5, Y < 3) $ é igual a $ \frac{3}{8} $.