Determine uma curva ortogonal à família de curvas
, e que passe pelo ponto
.
Passo 1
O problema pede a curva ortogonal à família de curvas
que passe pelo ponto
. Vamos usar o conceito de trajetória ortogonal (produtos dos declives valendo
), diferenciação implícita e resolução de equação diferencial separável.
Passo 2
Derivamos implicitamente a família dada. Diferenciando
em relação a
(com
constante) obtemos
Como
Passo 3
Para a trajetória ortogonal, o declive deve satisfazer
Passo 4
Logo
Passo 5
Rescrevemos essa ODE como separável:
Passo 6
Integramos ambos os lados:
onde
Resposta
\frac{x^2}{2} + y^2 = 11