Determine uma curva ortogonal à família de curvas y=c x^2, e que passe pelo ponto (2,3).

Passo 1

O problema pede a curva ortogonal à família de curvas y = c x^2 que passe pelo ponto (2,3). Vamos usar o conceito de trajetória ortogonal (produtos dos declives valendo -1), diferenciação implícita e resolução de equação diferencial separável.

Passo 2

Derivamos implicitamente a família dada. Diferenciando y = c x^2 em relação a x (com c constante) obtemos
dydx = 2c x
Como c = yx^2, substituímos e achamos
dydx = 2,yx

Passo 3

Para a trajetória ortogonal, o declive deve satisfazer
dydxg|perp cdot dydxg|fam = -1

Passo 4

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dydx = -12y/x = -x2y

Passo 5

Rescrevemos essa ODE como separável:
dydx = -x2y Longrightarrow 2y,dy = -x,dx

Passo 6

Integramos ambos os lados:
integral 2y,dy = integral -x,dx Longrightarrow y^2 = -x^22 + K,
onde K é constante de integração. Aplicando a condição inicial (2,3):
3^2 = -2^22 + K Longrightarrow K = 11

Resposta

\frac{x^2}{2} + y^2 = 11

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