Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea, tipo Cauchy-Euler.
Passo 1
Nesta questão temos a EDO de Cauchy–Euler
Conteúdo: equações diferenciais lineares homogêneas do tipo Cauchy–Euler
Enunciado: “2 x² y″ + 5 x y′ – 2 y = 0, x < 0”.
Para resolver, vamos usar o método que assume solução da forma y = xʳ.
Passo 2
Para equações Cauchy–Euler, assumimos y = xʳ. Então:
Diferenciando temos:
Passo 3
Substituindo essas expressões em
obtemos
o que se simplifica para
Passo 4
A parte entre parênteses é a equação auxiliar (indicial):
Expandindo:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Logo
Passo 6
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral no caso usual é
Porém, nosso domínio é x < 0. Para manter as potências reais, definimos t = -x > 0 e usamos (-x)^r. Assim a solução geral para x < 0 fica:
Resposta
y(x) = C_1(-x)^{1/2} + C_2(-x)^{-2}