Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea, tipo Cauchy-Euler.
2 x^2 y^prime prime+5 x y^prime-2 y=0, x<0

Passo 1

Nesta questão temos a EDO de Cauchy–Euler
Conteúdo: equações diferenciais lineares homogêneas do tipo Cauchy–Euler
Enunciado: “2 x² y″ + 5 x y′ – 2 y = 0, x < 0”.
Para resolver, vamos usar o método que assume solução da forma y = xʳ.

Passo 2

Para equações Cauchy–Euler, assumimos y = xʳ. Então:
Diferenciando temos:
y = x^r
y' = r x^r-1
y'' = r(r-1)x^r-2

Passo 3

Substituindo essas expressões em
2x^2 y'' + 5x y' - 2y = 0
obtemos
2x^2 l(r(r-1)x^r-2r) + 5x l(r x^r-1r) - 2x^r = 0
o que se simplifica para
x^rl(2r(r-1) + 5r - 2r) = 0.

Passo 4

A parte entre parênteses é a equação auxiliar (indicial):
2r(r-1) + 5r - 2 = 0
Expandindo:
2r^2 - 2r + 5r - 2 = 2r^2 + 3r - 2 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática
2r^2 + 3r - 2 = 0
usando a fórmula de Bhaskara:
r = -3 pm raiz3^2 - 4cdot2cdot(-2)2cdot2 = -3 pm raiz9 + 164 = -3 pm 54
Logo
r1 = -3 + 54 = 12, r2 = -3 - 54 = -2.

Passo 6

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral no caso usual é
y(x) = C1 x^r1 + C2 x^r2 = C1 x^1/2 + C2 x^-2
Porém, nosso domínio é x < 0. Para manter as potências reais, definimos t = -x > 0 e usamos (-x)^r. Assim a solução geral para x < 0 fica:
y(x) = C1,(-x)^1/2 + C2,(-x)^-2

Resposta

y(x) = C_1(-x)^{1/2} + C_2(-x)^{-2}

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