Resolva os PVIs (miscelânia).
l(y-y^2) d x-d y=0 y(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse PVI (Problema de Valor Inicial) que você mandou. A gente está lidando com uma equação diferencial que envolve as variáveis $ x $ e $ y $, e também tem uma condição inicial: $ y(0) = 2 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, como separação de variáveis e integração. Vou explicar cada passo direitinho para você entender como chegamos na solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que temos:
(y - y^2) , dx - dy = 0
Nosso objetivo é encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaz essa equação e a condição inicial $ y(0) = 2 $.

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para facilitar a solução. Vamos colocar tudo em termos de $ dy/dx $:
dy/dx
Isso significa que:
(y - y^2) , dx = dy
Agora, temos uma equação diferencial que podemos tentar resolver separando as variáveis $ y $ e $ x $.

Passo 4

Vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, colocamos todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro:
y
Aqui, eu dividi ambos os lados por $ y(1 - y) $ para isolar $ dy $ de um lado e $ dx $ do outro.

Passo 5

Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A integral do lado esquerdo requer a técnica de frações parciais:
integral 1y(1 - y) , dy = integral 1 , dx
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
1y(1 - y) = Ay + B1 - y
Multiplicando ambos os lados por $ y(1 - y) $:
y(1 - y)
Para resolver $ A $ e $ B $, podemos escolher valores que simplifiquem a equação. Se $ y = 1 $:
1 = A(1 - y) + B y
Se $ y = 0 $:
A
Então, a fração parcial fica:
B

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo:
integral ( 1y + 11 - y ) dy = integral 1 , dx
Integrando cada parte:
ln |y| - ln |1 - y| = x + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
ln ( y1 - y ) = x + C
Para facilitar, podemos escrever $ C $ como $ \ln K $, onde $ K $ é uma nova constante:
C
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
ln K

Passo 8

Vamos resolver para $ y $:
y
Distribuindo $ K e^{x} $:
y = K e^x (1 - y)
Levantando os termos com $ y $ para um lado:
K e^x
Factorizando $ y $:
y = K e^x - K e^x y
Finalmente, isolando $ y $:
y

Passo 9

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de $ K $. Sabemos que quando $ x = 0 $, $ y = 2 $:
K
Resolvendo para $ K $:
x = 0

Resposta

Substituindo $ K = -2 $ na expressão de $ y $:
K = -2
Essa é a solução do PVI dado.

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