Resolva os PVIs (miscelânia).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse PVI (Problema de Valor Inicial) que você mandou. A gente está lidando com uma equação diferencial que envolve as variáveis $ x $ e $ y $, e também tem uma condição inicial: $ y(0) = 2 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, como separação de variáveis e integração. Vou explicar cada passo direitinho para você entender como chegamos na solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que temos:
Nosso objetivo é encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaz essa equação e a condição inicial $ y(0) = 2 $.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para facilitar a solução. Vamos colocar tudo em termos de $ dy/dx $:
Isso significa que:
Agora, temos uma equação diferencial que podemos tentar resolver separando as variáveis $ y $ e $ x $.
Passo 4
Vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, colocamos todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro:
Aqui, eu dividi ambos os lados por $ y(1 - y) $ para isolar $ dy $ de um lado e $ dx $ do outro.
Passo 5
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A integral do lado esquerdo requer a técnica de frações parciais:
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Multiplicando ambos os lados por $ y(1 - y) $:
Para resolver $ A $ e $ B $, podemos escolher valores que simplifiquem a equação. Se $ y = 1 $:
Se $ y = 0 $:
Então, a fração parcial fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo:
Integrando cada parte:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Para facilitar, podemos escrever $ C $ como $ \ln K $, onde $ K $ é uma nova constante:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Passo 8
Vamos resolver para $ y $:
Distribuindo $ K e^{x} $:
Levantando os termos com $ y $ para um lado:
Factorizando $ y $:
Finalmente, isolando $ y $:
Passo 9
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de $ K $. Sabemos que quando $ x = 0 $, $ y = 2 $:
Resolvendo para $ K $:
Resposta
Substituindo $ K = -2 $ na expressão de $ y $:
Essa é a solução do PVI dado.