Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea, tipo Cauchy-Euler.
(x-1)^2 y^prime prime+7(x-1) y^prime+9 y=0, x neq 1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea tipo Cauchy-Euler
xneq1
para t=x-1. Vamos usar a teoria de equações de Euler, que exige mudança de variável y=t^m e busca de soluções da forma .

Passo 2

Fazendo a mudança de variável t=x-1, temos que dy/dx = dy/dt e d^2y/dx^2 = d^2y/dt^2. Assim a EDO escrita em t fica:
t^2y''(t)+7t y'(t)+9y(t)=0

Passo 3

Para equação de Euler do tipo t^2y''+α t y'+β y=0, supomos y=t^m. Então
y' = m t^m-1,
y'' = m(m-1)t^m-2
Substituindo em
t^2y''+7t y'+9y=0
vem
t^2igl(m(m-1)t^m-2r)+7tigl(mt^m-1r)+9t^m = 0 
que simplifica para a equação característica

Passo 4

A equação característica é
m(m-1)+7m+9=0
o que dá
m^2 - m +7m +9 = m^2 +6m+9 = 0

Passo 5

Resolvendo m^2+6m+9=0, o discriminante é Δ=6^2-4·1·9=36-36=0, logo há raiz dupla
m = -62 = -3

Passo 6

Como a raiz m=-3 é dupla, a solução geral em t é
y(t) = C1t^-3 + C2t^-3ln|t|

Passo 7

Voltando à variável original x, com t=x-1, obtemos
y(x) = C1(x-1)^-3 + C2(x-1)^-3ln|x-1|

Resposta

y(x)=C_1(x-1){-3}+C_2(x-1){-3}\ln|x-1|

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