Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea, tipo Cauchy-Euler.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea tipo Cauchy-Euler
para . Vamos usar a teoria de equações de Euler, que exige mudança de variável
e busca de soluções da forma
.
para
Passo 2
Fazendo a mudança de variável
, temos que
e
. Assim a EDO escrita em
fica:
Passo 3
Para equação de Euler do tipo
, supomos
. Então
Substituindo em
vem
que simplifica para a equação característica
Passo 4
A equação característica é
o que dá
Passo 5
Resolvendo
, o discriminante é
, logo há raiz dupla
Passo 6
Como a raiz
é dupla, a solução geral em
é
Passo 7
Voltando à variável original
, com
, obtemos
Resposta
y(x)=C_1(x-1){-3}+C_2(x-1){-3}\ln|x-1|