Mostre que, sendo a>0, lim h 0 a^h-1h=ln a.
Sugestão: Trate o caso a=1 em separado. Para a neq 1, faça a mudança de variável a^h-1=z, e então h=ln (z+1) / ln a.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limh to 0a^h-1h,
onde a>0. Esse limite é justamente a derivada da função a^x em x=0, e o resultado esperado é ln a. Para chegar lá, vamos usar o caso trivial a=1 e, para aneq1, fazer a troca de variável sugerida e usar o limite padrão
limuto0ln(1+u)u=1

Passo 2

Se a=1, então para todo h temos 1^h=1 e
1^h-1h=1-1h=0
Logo
limhto01^h-1h=0 e como ln1=0,
o resultado coincide.

Passo 3

Agora suponha aneq1. Defina
z = a^h-1
Então a^h=z+1 e, aplicando logaritmo,
h = ln(z+1)ln a
Quando hto0, temos a^hto1, logo zto0.

Passo 4

Reescrevendo o quociente em termos de z, obtemos
a^h-1h = z,ln(z+1)ln a, = ln a;zln(1+z)
Como sabemos que
limzto0ln(1+z)z=1,
também vale
limzto0zln(1+z)=1
Portanto
limhto0a^h-1h = ln a;cdot1 = ln a

Resposta

limhto0a^h-1h=ln a

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