Mostre que, sendo
.
Sugestão: Trate o caso
em separado. Para
, faça a mudança de variável
, e então
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
onde
. Esse limite é justamente a derivada da função
em
, e o resultado esperado é
. Para chegar lá, vamos usar o caso trivial
e, para
, fazer a troca de variável sugerida e usar o limite padrão
Passo 2
Se
, então para todo
temos
e
Logo
o resultado coincide.
Passo 3
Agora suponha
. Defina
Então
e, aplicando logaritmo,
Quando
, temos
, logo
.
Passo 4
Reescrevendo o quociente em termos de
, obtemos
Como sabemos que
também vale
Portanto