Determine a curva y=f(x) do plano x y nos seguintes casos:
lpartial ypartial x=3 x^-2 / 3 y=-5 quando x=-1

Passo 1

Este exercício pede para determinar a curva y = f(x) no plano xy satisfazendo a equação diferencial partial ypartial x = 3 x^-2/3 e a condição inicial y(-1) = -5. Vamos usar técnicas de integrais de funções-poder e condição inicial.

Passo 2

Para resolver uma equação diferencial da forma dydx = g(x), integramos ambos os lados em relação a x:
y = integral g(x),dx + C
Aqui temos g(x) = 3 x^-2/3, então:
y = integral 3 x^-2/3,dx + C
Para calcular a integral de x^-2/3 usamos a fórmula integral x^p,dx = x^p+1p+1 se p neq -1:
integral x^-2/3,dx = x^-2/3 + 1-2/3 + 1 = x^1/31/3 = 3 x^1/3
Assim,
y = 3 cdot 3 x^1/3 + C = 9 x^1/3 + C

Passo 3

Agora aplicamos a condição inicial y(-1) = -5. Note que a raiz cúbica de -1 é -1. Substituindo em y = 9 x^1/3 + C:
-5 = 9(-1) + C = -9 + C
Logo,
C = -5 + 9 = 4

Passo 4

Portanto, a solução da equação diferencial com a condição dada é:
y = 9 x^1/3 + 4

Resposta

y = 9 x^1/3 + 4

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