Determine a série de Taylor para cada uma das funções f nos pontos c indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em c.
f(x)=x^-2 ; c=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor para a função $ f(x) = x^{-2} $ no ponto $ c = 1 $. Além disso, vamos verificar se essa função é analítica nesse ponto. Para isso, vamos precisar lembrar como construir uma série de Taylor e entender o que significa uma função ser analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função naquele ponto específico $ c $. A fórmula geral é:
c

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ f(x) = x^{-2} $ até onde for necessário. Primeiro, encontramos a função em si e depois suas derivadas:
f(x) = x^-2
f(x) = x^-2
f'(x) = -2x^-3
f''(x) = 6x^-4
f'''(x) = -24x^-5
f''''(x) = 120x^-6

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto $ c = 1 $:
c = 1
f(1) = 1^-2 = 1
f'(1) = -2 cdot 1^-3 = -2
f''(1) = 6 cdot 1^-4 = 6
f'''(1) = -24 cdot 1^-5 = -24
f''''(1) = 120 cdot 1^-6 = 120

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:
f(x) = 1 + (-2)(x - 1) + 62!(x - 1)^2 + -243!(x - 1)^3 + 1204!(x - 1)^4 + dots
Simplificando os coeficientes:
f(x) = 1 - 2(x - 1) + 3(x - 1)^2 - 4(x - 1)^3 + 5(x - 1)^4 - dots

Passo 6

Observando o padrão, percebemos que os coeficientes seguem a fórmula $ (-1)^n (n+1)(x - 1)^n $, onde $ n $ começa em 0.
Então, a série de Taylor fica:
(-1)^n (n+1)(x - 1)^n

Passo 7

Agora, vamos verificar se a função $ f(x) = x^{-2} $ é analítica no ponto $ c = 1 $. Uma função é analítica em um ponto se ela pode ser representada por uma série de Taylor que converge para a função nesse ponto.
Como conseguimos construir a série de Taylor para $ f(x) $ em torno de $ c = 1 $ e sabemos que as derivadas existem em $ c = 1 $, concluímos que $ f(x) $ é analítica nesse ponto.

Resposta

A série de Taylor para $ f(x) = x^{-2} $ em torno de $ c = 1 $ é:
f(x) = x^-2
Além disso, a função $ f(x) = x^{-2} $ é analítica no ponto $ c = 1 $.

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