Determine a série de Taylor para cada uma das funções
nos pontos
indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor para a função $ f(x) = x^{-2} $ no ponto $ c = 1 $. Além disso, vamos verificar se essa função é analítica nesse ponto. Para isso, vamos precisar lembrar como construir uma série de Taylor e entender o que significa uma função ser analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função naquele ponto específico $ c $. A fórmula geral é:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ f(x) = x^{-2} $ até onde for necessário. Primeiro, encontramos a função em si e depois suas derivadas:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto $ c = 1 $:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Observando o padrão, percebemos que os coeficientes seguem a fórmula $ (-1)^n (n+1)(x - 1)^n $, onde $ n $ começa em 0.
Então, a série de Taylor fica:
Passo 7
Agora, vamos verificar se a função $ f(x) = x^{-2} $ é analítica no ponto $ c = 1 $. Uma função é analítica em um ponto se ela pode ser representada por uma série de Taylor que converge para a função nesse ponto.
Como conseguimos construir a série de Taylor para $ f(x) $ em torno de $ c = 1 $ e sabemos que as derivadas existem em $ c = 1 $, concluímos que $ f(x) $ é analítica nesse ponto.
Resposta
A série de Taylor para $ f(x) = x^{-2} $ em torno de $ c = 1 $ é:
Além disso, a função $ f(x) = x^{-2} $ é analítica no ponto $ c = 1 $.