Determine a série de Taylor para cada uma das funções f nos pontos c indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em c.
f(x)=cosh x ; c=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \cosh x $ no ponto $ c = 0 $ e dizer se essa função é analítica nesse ponto. Para isso, vamos usar o conceito de séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios, usando derivadas da função no ponto escolhido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ c $ é dada por:
f(x)
Onde $ f^{(n)}© $ é a n-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ c $.
Como aqui $ c = 0 $, estamos falando de uma série de Taylor centrada na origem, também conhecida como série de Maclaurin.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ \cosh x $ e avaliá-las em $ x = 0 $. A função $ \cosh x $ é definida por:
cosh x
As derivadas de $ \cosh x $ seguem um padrão:
x = 0
E assim por diante, alternando entre $ \cosh x $ e $ \sinh x $.

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas em $ x = 0 $:
x = 0
Percebemos que todas as derivadas ímpares em $ x = 0 $ são zero, e as derivadas pares valem 1.

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da série de Taylor:
cosh x = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
Como as derivadas ímpares são zero, os termos correspondentes desaparecem. Restam apenas os termos pares, onde $ f^{(2k)}(0) = 1 $. Então, a série fica:
f^(2k)(0) = 1

Passo 6

Essa série é justamente a expansão em série de Maclaurin para $ \cosh x $. Além disso, como a série converge para $ \cosh x $ em todo o domínio real, a função $ \cosh x $ é analítica em $ c = 0 $.

Resposta

A série de Taylor de $ f(x) = \cosh x $ no ponto $ c = 0 $ é:
f(x) = cosh x
Além disso, $ \cosh x $ é uma função analítica em $ c = 0 $.

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