Determine a série de Taylor para cada uma das funções f nos pontos c indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em c.
f(x)=x e^x ; c=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = x e^{x} $ no ponto $ c = 1 $. Além disso, temos que dizer se essa função é analítica nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Taylor, calcular as derivadas da função no ponto $ c $, e montar a série passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ c $ é uma representação da função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função nesse ponto. A fórmula geral é:
f(x)
Onde $ f^{(n)}© $ é a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ c $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias da função $ f(x) = x e^{x} $. Começamos com as primeiras derivadas para identificar um padrão:
  • Primeira derivada:
    f(x) = x e^x
  • Segunda derivada:
    f'(x) = e^x + x e^x = e^x(1 + x)
  • Terceira derivada:
    f''(x) = e^x(1 + x) + e^x = e^x(2 + x)
Observamos que a $ n $-ésima derivada segue o padrão:
f'''(x) = e^x(2 + x) + e^x = e^x(3 + x)

Passo 4

Agora, vamos avaliar as derivadas no ponto $ c = 1 $:
c = 1
Substituindo na fórmula da série de Taylor:
f^(n)(1) = e^1(n + 1) = e(n + 1)
Podemos fatorar o $ e $ e reescrever a série da seguinte forma:
f(x) = sumn=0^infty e(n + 1)n! (x - 1)^n

Passo 5

Por fim, vamos verificar se a função é analítica no ponto $ c = 1 $. Uma função é analítica em um ponto se ela pode ser representada por sua série de Taylor nesse ponto e se a série converge para a função em uma vizinhança desse ponto.
A função $ e^{x} $ é conhecida por ser analítica em todo o seu domínio, que é todo o conjunto dos números reais. Multiplicando por $ x $, que também é uma função analítica, a função $ f(x) = x e^{x} $ permanece analítica em todo o seu domínio, inclusive no ponto $ c = 1 $.

Resposta

A série de Taylor da função $ f(x) = x e^{x} $ no ponto $ c = 1 $ é:
f(x) = x e^x
Além disso, a função $ f(x) = x e^{x} $ é analítica no ponto $ c = 1 $.

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