Determine a série de Taylor para cada uma das funções
nos pontos
indicados. Diga também, em cada caso, se se trata ou não de uma função analítica em
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = x e^{x} $ no ponto $ c = 1 $. Além disso, temos que dizer se essa função é analítica nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Taylor, calcular as derivadas da função no ponto $ c $, e montar a série passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ c $ é uma representação da função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função nesse ponto. A fórmula geral é:
Onde $ f^{(n)}© $ é a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ c $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias da função $ f(x) = x e^{x} $. Começamos com as primeiras derivadas para identificar um padrão:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
Observamos que a $ n $-ésima derivada segue o padrão:
Passo 4
Agora, vamos avaliar as derivadas no ponto $ c = 1 $:
Substituindo na fórmula da série de Taylor:
Podemos fatorar o $ e $ e reescrever a série da seguinte forma:
Passo 5
Por fim, vamos verificar se a função é analítica no ponto $ c = 1 $. Uma função é analítica em um ponto se ela pode ser representada por sua série de Taylor nesse ponto e se a série converge para a função em uma vizinhança desse ponto.
A função $ e^{x} $ é conhecida por ser analítica em todo o seu domínio, que é todo o conjunto dos números reais. Multiplicando por $ x $, que também é uma função analítica, a função $ f(x) = x e^{x} $ permanece analítica em todo o seu domínio, inclusive no ponto $ c = 1 $.
Resposta
A série de Taylor da função $ f(x) = x e^{x} $ no ponto $ c = 1 $ é:
Além disso, a função $ f(x) = x e^{x} $ é analítica no ponto $ c = 1 $.