Determine as curvas integrais das equações diferenciais:
d yd x=sinh x

Passo 1

O enunciado pede para determinar as curvas integrais da equação diferencial de primeira ordem dydx=sinh x. O conteúdo aqui é resolução de EDOs elementares por integração direta e vamos precisar da fórmula de integração de funções hiperbólicas.

Passo 2

Reconhecemos que podemos reescrever a EDO como uma igualdade de diferenciais e integrar ambos os lados. Ou seja, fazemos
integral dy ,=integral sinh x ,dx
Para resolver a integral do lado direito, usamos a identidade de que a derivada de cosh x é sinh x. Portanto,
integral sinh x ,dx = cosh x + C
Substituindo na igualdade anterior, obtemos
$$
y = \cosh x + C$$
Essa expressão representa a família de curvas integrais da equação diferencial dada, onde y = cosh x + C é a constante de integração.

Resposta

As curvas integrais são dadas por
y(x)=cosh x + C,
onde C é uma constante real arbitrária.

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