Simplifique a seguinte expressão: f(x)-f(a)x-a, x neq a, se:
a) f(x)=x^2, a=1
b) f(x)=x^3, a=-2
c) f(x)=x^2+x, a=-1
d) f(x)=1x, a=1
e) f(x)=2 x+1, a=2
f) f(x)=1x^2, a=2
g) f(x)=x^3+x, a=2
h) f(x)=1x^3, a=3
i) f(x)=raiz[3]x+1, a=1
j) f(x)=1x^4, a=4

Passo 1

Estamos vendo a expressão de quociente de diferenças f(x)-f(a)x-a, que é importante para entender taxa de variação média de funções. Vamos usar, conforme o tipo de f, técnicas de fatoração (diferença de quadrados, de cubos, fator comum) ou racionalização para simplificar esse quociente sempre que xneq a.

Passo 2

Para f(x)=x^2 e a=1, temos
f(x)-f(a)=x^2-1^2=(x-1)(x+1)
Então
f(x)-f(a)x-a=(x-1)(x+1)x-1=x+1

Passo 3

Para f(x)=x^3 e a=-2, calculamos
f(x)-f(a)=x^3-(-2)^3=x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)
Assim
f(x)-f(a)x-a=(x+2)(x^2-2x+4)x+2=x^2-2x+4

Passo 4

Para f(x)=x^2+x e a=-1, temos f(-1)=0 e
f(x)-f(-1)=x^2+x=x(x+1)
Logo
f(x)-f(a)x-a=x(x+1)x+1=x

Passo 5

Para f(x)=1/x e a=1,
f(x)-f(a)=1x-1=1-xx=-x-1x
Divide por x-1:
f(x)-f(a)x-a=-x-1x(x-1)=-1x

Passo 6

Para f(x)=2x+1 e a=2,
f(x)-f(a)=2x+1-(5)=2x-4=2(x-2),
então
f(x)-f(a)x-a=2(x-2)x-2=2

Passo 7

Para f(x)=1/x^2 e a=2,
f(x)-f(a)=1x^2-14=4-x^24x^2=-x^2-44x^2=-(x-2)(x+2)4x^2
Portanto
f(x)-f(a)x-a=-(x-2)(x+2)4x^2(x-2)=-x+24x^2

Passo 8

Para f(x)=x^3+x e a=2,
f(x)-f(a)=x^3+x-(8+2)=x^3+x-10=(x-2)(x^2+2x+5)
(pela soma de x^3-8 e x-2). Logo
f(x)-f(a)x-a=(x-2)(x^2+2x+5)x-2=x^2+2x+5

Passo 9

Para f(x)=1/x^3 e a=3,
f(x)-f(a)=1x^3-127=27-x^327x^3=-x^3-2727x^3=-(x-3)(x^2+3x+9)27x^3
Então
f(x)-f(a)x-a=-x^2+3x+927x^3

Passo 10

Para f(x)=raiz[3]x+1 e a=1, escrevemos a=raiz[3]2. Seja A=raiz[3]x+1 e B=raiz[3]2. Sabemos
A^3-B^3=(x+1)-2=x-1=(A-B)(A^2+AB+B^2)
Assim
A-Bx-1=1A^2+AB+B^2= 1(x+1)^2/3+2^1/3(x+1)^1/3+2^2/3

Passo 11

Para f(x)=1/x^4 e a=4,
f(x)-f(a)=1x^4-1256=256-x^4256x^4=-x^4-256256x^4=-(x-4)(x+4)(x^2+16)256x^4
Logo
f(x)-f(a)x-a=-(x+4)(x^2+16)256x^4

Resposta

a) x+1
b) x^2-2x+4
c) x
d) -1/x
e) 2
f) -\frac{x+2}{4x^2}
g) x^2+2x+5
h) -\frac{x2+3x+9}{27x3}
i) \displaystyle \frac{1}{(x+1){2/3}+2{1/3}(x+1){1/3}+2{2/3}}
j) -\frac{(x+4)(x2+16)}{256x4}

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