Determine o valor de m para que y=x^{m} seja uma solução para cada equação diferencial a seguir
x^{2} y^{\prime \prime}-y=0;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de m tal que a função
y = x^{m}
seja solução da equação diferencial de Euler–Cauchy
x^{2}y'' - y = 0.
Para isso, vamos supor y=x^{m} e usar diferenciação direta.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y:
y' = m\,x^{m-1},\qquad y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.
Multiplicando por x^{2} e substituindo em x^{2}y''-y=0, obtemos
x^{2}y'' - y = x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] - x^{m} = m(m-1)x^{m} - x^{m} = 0.

Passo 3

Fatorando x^{m}\neq0, chegamos à equação característica em m:
m(m-1) - 1 = 0.

Passo 4

Resolvendo
m^{2} - m - 1 = 0
pela fórmula de Bhaskara, vem
m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.

Resposta

m = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad\text{ou}\quad m = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}.

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