Determine as curvas de nível do gráfico
para o número de
dado
Passo 1
O enunciado pede: determinar as curvas de nível do gráfico
para os valores de
dados:
,
,
e
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
Informações fornecidas pelo enunciado:
Observações importantes extraídas do enunciado (sem resolver nada ainda): a função envolve uma raiz quadrada, portanto o argumento da raiz deve ser não negativo, e
é sempre maior ou igual a zero (a raiz principal). Essas condições vão limitar quais valores de
geram curvas de nível.
Passo 2
Definição prática de curva de nível (como usar na prova): para um número fixo
, a curva de nível correspondente é o conjunto de pontos
que satisfazem
Ou seja, para achar a curva de nível de um
dado, substituímos
por
e resolvemos a equação resultante em
. Atenção importante ao manipular raízes: quando temos
, podemos elevar ambos os lados ao quadrado, mas isso é válido apenas se sabemos que
é não negativo (pois a raiz principal retorna valores
). Aqui os
dados (
) são todos não negativos, então podemos usar esse passo.
Passo 3
Aplicando a definição: igualamos a função ao valor
e elevamos ao quadrado para eliminar a raiz. Escrevemos e manipulamos passo a passo:
Elevando ao quadrado (válido pois
):
Isolando
:
Explicação didática: essa é a equação de um círculo no plano
com centro em
e raio
dado por
Mas essa expressão só faz sentido se o radicando for não negativo:
Como
é não negativo, os níveis possíveis são
. Para
fora desse intervalo não existem pontos
com
.
Passo 4
Agora aplicamos o resultado geral
aos valores pedidos, calculando o raio correspondente em cada caso. Primeiro caso:
. Calculamos o raio:
A equação da curva de nível é
Interpretação: é um círculo centrado na origem de raio
.
Passo 5
Segundo caso:
. Calculamos o raio:
A equação da curva de nível é
Interpretação: é um círculo centrado na origem de raio
.
Passo 6
Terceiro caso:
. Calculamos o raio:
A equação da curva de nível é
Interpretação: círculo centrado na origem de raio
.
Passo 7
Quarto caso:
. Calculamos o raio:
A equação da curva de nível é
que corresponde ao ponto único
. Interpretação: quando o raio é zero, a “curva” degenera num ponto.
Passo 8
Resumo conceitual e verificação final: para qualquer
com
, a curva de nível é um círculo centrado em
de raio
. Para
não há soluções (pois
) e para
também não há soluções (pois
fica imaginário). Boa notícia: os quatro casos pedidos estão dentro do intervalo permitido, então cada um produz uma curva real.