Determine as curvas de nível do gráfico z=f(x, y) para o número de z dado
f(x, y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} ; z=0, z=1, z=2, z=3

Passo 1

O enunciado pede: determinar as curvas de nível do gráfico z=f(x,y) para os valores de z dados: z=0, z=1, z=2 e z=3.
Informações fornecidas pelo enunciado:
f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}.
Observações importantes extraídas do enunciado (sem resolver nada ainda): a função envolve uma raiz quadrada, portanto o argumento da raiz deve ser não negativo, e f(x,y) é sempre maior ou igual a zero (a raiz principal). Essas condições vão limitar quais valores de z geram curvas de nível.

Passo 2

Definição prática de curva de nível (como usar na prova): para um número fixo z, a curva de nível correspondente é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=z.
Ou seja, para achar a curva de nível de um z dado, substituímos f(x,y) por z e resolvemos a equação resultante em (x,y). Atenção importante ao manipular raízes: quando temos \sqrt{\text{algo}}=z, podemos elevar ambos os lados ao quadrado, mas isso é válido apenas se sabemos que z é não negativo (pois a raiz principal retorna valores \ge 0). Aqui os z dados ( 0,1,2,3) são todos não negativos, então podemos usar esse passo.

Passo 3

Aplicando a definição: igualamos a função ao valor z e elevamos ao quadrado para eliminar a raiz. Escrevemos e manipulamos passo a passo:
\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} = z.
Elevando ao quadrado (válido pois z\ge 0):
9 - x^{2} - y^{2} = z^{2}.
Isolando x^{2}+y^{2}:
x^{2}+y^{2} = 9 - z^{2}.
Explicação didática: essa é a equação de um círculo no plano (x,y) com centro em (0,0) e raio r dado por
r=\sqrt{9 - z^{2}}.
Mas essa expressão só faz sentido se o radicando for não negativo:
9 - z^{2} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad z^{2} \le 9 \quad\Longrightarrow\quad |z|\le 3.
Como f(x,y) é não negativo, os níveis possíveis são 0 \le z \le 3. Para z fora desse intervalo não existem pontos (x,y) com f(x,y)=z.

Passo 4

Agora aplicamos o resultado geral x^{2}+y^{2}=9-z^{2} aos valores pedidos, calculando o raio correspondente em cada caso. Primeiro caso: z=0. Calculamos o raio:
r=\sqrt{9-0^{2}}=\sqrt{9}=3.
A equação da curva de nível é
x^{2}+y^{2}=9.
Interpretação: é um círculo centrado na origem de raio 3.

Passo 5

Segundo caso: z=1. Calculamos o raio:
r=\sqrt{9-1^{2}}=\sqrt{9-1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
A equação da curva de nível é
x^{2}+y^{2}=8.
Interpretação: é um círculo centrado na origem de raio 2\sqrt{2}.

Passo 6

Terceiro caso: z=2. Calculamos o raio:
r=\sqrt{9-2^{2}}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}.
A equação da curva de nível é
x^{2}+y^{2}=5.
Interpretação: círculo centrado na origem de raio \sqrt{5}.

Passo 7

Quarto caso: z=3. Calculamos o raio:
r=\sqrt{9-3^{2}}=\sqrt{9-9}=\sqrt{0}=0.
A equação da curva de nível é
x^{2}+y^{2}=0,
que corresponde ao ponto único (0,0). Interpretação: quando o raio é zero, a “curva” degenera num ponto.

Passo 8

Resumo conceitual e verificação final: para qualquer z com 0\le z\le 3, a curva de nível é um círculo centrado em (0,0) de raio \sqrt{9-z^{2}}. Para z<0 não há soluções (pois f\ge 0) e para z>3 também não há soluções (pois \sqrt{9-z^{2}} fica imaginário). Boa notícia: os quatro casos pedidos estão dentro do intervalo permitido, então cada um produz uma curva real.

Resposta

z=0:\; x^{2}+y^{2}=9
z=1:\; x^{2}+y^{2}=8
z=2:\; x^{2}+y^{2}=5
z=3:\; x^{2}+y^{2}=0

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