A astróide é a curva descrita por um ponto sobre uma circunferência de raio R / 4 rolando sem deslizar ao longo de outra circunferência de raio R. Suas equações paramétricas são dadas por
l x(t)=R cos ^3 t y(t)=R sen^3 t , t in[0,2 pi]
Encontre a equação cartesiana da astróide. Resposta: x^2 / 3+y^2 / 3=R^2 / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva chamada astóide, que é definida pelas equações paramétricas:
l x(t)=R cos ^3 t y(t)=R sin^3 t , t in[0,2 pi]
O objetivo aqui é encontrar a equação cartesiana dessa astóide, ou seja, uma equação que relacione x e y sem precisar do parâmetro t . Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria e álgebra para eliminar o parâmetro t das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas equações paramétricas que temos:
x = R cos^3 t y = R sin^3 t
Nosso objetivo é eliminar o t . Para isso, vamos tentar expressar cos t e sin t em termos de x e y .

Passo 3

Vamos isolar cos t e sin t em cada equação:
cos t = ( xR )^1/3 sin t = ( yR )^1/3
Aqui, estamos tirando a raiz cúbica de ambos os lados para resolver para cos t e sin t .

Passo 4

Agora, sabemos que a identidade trigonométrica fundamental é:
cos^2 t + sin^2 t = 1
Vamos usar essa identidade para relacionar x e y .

Passo 5

Substituindo cos t e sin t nas identidades:
( xR )^2/3 + ( yR )^2/3 = 1
Aqui, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar os expoentes cúbicos.

Passo 6

Multiplicando toda a equação por R^2/3 para simplificar:
x^2/3 + y^2/3 = R^2/3

Resposta

A equação cartesiana da astóide é:
x^2/3 + y^2/3 = R^2/3

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