A astróide é a curva descrita por um ponto sobre uma circunferência de raio
rolando sem deslizar ao longo de outra circunferência de raio
. Suas equações paramétricas são dadas por
Encontre a equação cartesiana da astróide. Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva chamada astóide, que é definida pelas equações paramétricas:
O objetivo aqui é encontrar a equação cartesiana dessa astóide, ou seja, uma equação que relacione
e
sem precisar do parâmetro
. Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria e álgebra para eliminar o parâmetro
das equações.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas equações paramétricas que temos:
Nosso objetivo é eliminar o
. Para isso, vamos tentar expressar
e
em termos de
e
.
Passo 3
Vamos isolar
e
em cada equação:
Aqui, estamos tirando a raiz cúbica de ambos os lados para resolver para
e
.
Passo 4
Agora, sabemos que a identidade trigonométrica fundamental é:
Vamos usar essa identidade para relacionar
e
.
Passo 5
Substituindo
e
nas identidades:
Aqui, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar os expoentes cúbicos.
Passo 6
Multiplicando toda a equação por
para simplificar:
Resposta
A equação cartesiana da astóide é: