Obtenha os vetores untários vec{T}(t), vec{N}(t) e a curvatura \kappa para as seguintes curvas
\vec{r}(t)=t \hat{i}+3 \cos t \hat{j}+3 \operatorname{sen} t \hat{k}\left(\right.

Passo 1

O enunciado dá a curva
\vec{r}(t)=t\,\hat{i}+3\cos t\,\hat{j}+3\sin t\,\hat{k}
e pede os vetores unitários \vec{T}(t) e \vec{N}(t) e a curvatura \kappa(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada componente a componente: primeira componente t, segunda 3\cos t, terceira 3\sin t.
  • Precisa-se de \vec{T}(t), \vec{N}(t) e \kappa(t) em termos de t.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular a velocidade \vec{v}(t)=\vec{r}\,'(t) e a aceleração \vec{a}(t)=\vec{r}''(t). Derivando componente a componente (lembrando \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t):
\vec{v}(t)=\vec{r}\,'(t)=1\cdot\hat{i}+(-3\sin t)\,\hat{j}+(3\cos t)\,\hat{k}.
\vec{a}(t)=\vec{r}''(t)=0\cdot\hat{i}+(-3\cos t)\,\hat{j}+(-3\sin t)\,\hat{k}.

Passo 3

Agora calculemos a velocidade escalar (módulo de \vec{v}(t)):
\|\vec{v}(t)\|=\sqrt{1^{2}+(-3\sin t)^{2}+(3\cos t)^{2}} =\sqrt{1+9(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.
Observação importante: a velocidade é constante em módulo (isto simplifica bastante os cálculos seguintes).

Passo 4

Definição do vetor tangente unitário: \vec{T}(t)=\dfrac{\vec{v}(t)}{\|\vec{v}(t)\|}. Dividindo cada componente de \vec{v}(t) por \sqrt{10} obtemos
\vec{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{10}}\,\hat{i}-\frac{3\sin t}{\sqrt{10}}\,\hat{j}+\frac{3\cos t}{\sqrt{10}}\,\hat{k}.
Explicação curta: \vec{T} indica a direção da velocidade com comprimento 1; como a velocidade tem módulo \sqrt{10}, basta dividir por esse número.

Passo 5

Para a curvatura usamos a relação via \vec{T}'(t):
  • Em geral \kappa(t)=\dfrac{\|\vec{T}'(t)\|}{\|\vec{r}'(t)\|}.
    Como \|\vec{r}'(t)\|=\sqrt{10} é constante, uma forma prática é notar que \vec{T}'(t)=\dfrac{\vec{a}(t)}{\|\vec{v}(t)\|} quando a velocidade tem módulo constante (porque \vec{T}=\vec{v}/\|\vec{v}\| e a derivada simplifica). Assim:
\vec{T}'(t)=\frac{\vec{a}(t)}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\big(0\,\hat{i}-3\cos t\,\hat{j}-3\sin t\,\hat{k}\big).
O módulo de \vec{T}'(t) é
\|\vec{T}'(t)\|=\frac{1}{\sqrt{10}}\sqrt{0^{2}+(-3\cos t)^{2}+(-3\sin t)^{2}} =\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot 3.
Agora a curvatura:
\kappa(t)=\frac{\|\vec{T}'(t)\|}{\|\vec{r}'(t)\|} =\frac{\tfrac{3}{\sqrt{10}}}{\sqrt{10}}=\frac{3}{10}.
Observação didática: aqui a curvatura é constante e vale \tfrac{3}{10}. Outra fórmula alternativa (que daria o mesmo resultado) é \kappa=\dfrac{\|\vec{v}\times\vec{a}\|}{\|\vec{v}\|^{3}}.

Passo 6

Agora o vetor normal unitário: \vec{N}(t)=\dfrac{\vec{T}'(t)}{\|\vec{T}'(t)\|}. Usando \vec{T}'(t)=\dfrac{\vec{a}(t)}{\sqrt{10}} e \|\vec{T}'(t)\|=\dfrac{3}{\sqrt{10}},
\vec{N}(t)=\frac{\dfrac{\vec{a}(t)}{\sqrt{10}}}{\dfrac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{\vec{a}(t)}{3}.
Substituindo \vec{a}(t),
\vec{N}(t)=0\cdot\hat{i}-\cos t\,\hat{j}-\sin t\,\hat{k}.
Verificação rápida (didática): o produto escalar \vec{T}\cdot\vec{N} deve ser zero. Calculando mentalmente observa-se que as componentes em \hat{j},\hat{k} se combinam e cancelam de acordo com as identidades trigonométricas, confirmando a ortogonalidade.

Passo 7

Resumo das expressões finais (já obtidas nos passos anteriores):
\vec{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{10}}\,\hat{i}-\frac{3\sin t}{\sqrt{10}}\,\hat{j}+\frac{3\cos t}{\sqrt{10}}\,\hat{k},
\vec{N}(t)=0\cdot\hat{i}-\cos t\,\hat{j}-\sin t\,\hat{k},
\kappa(t)=\frac{3}{10}.

Resposta

\displaystyle \vec{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{10}}\,\hat{i}-\frac{3\sin t}{\sqrt{10}}\,\hat{j}+\frac{3\cos t}{\sqrt{10}}\,\hat{k}\n
\displaystyle \vec{N}(t)= -\cos t\,\hat{j}-\sin t\,\hat{k}\n
\displaystyle \kappa(t)=\frac{3}{10}

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