Obtenha os vetores untários
e a curvatura
para as seguintes curvas
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede os vetores unitários
e
e a curvatura
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada componente a componente: primeira componente
, segunda , terceira . - Precisa-se de
, e em termos de .
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular a velocidade
e a aceleração
. Derivando componente a componente (lembrando
e
):
Passo 3
Agora calculemos a velocidade escalar (módulo de
):
Observação importante: a velocidade é constante em módulo (isto simplifica bastante os cálculos seguintes).
Passo 4
Definição do vetor tangente unitário:
. Dividindo cada componente de
por
obtemos
Explicação curta:
indica a direção da velocidade com comprimento 1; como a velocidade tem módulo
, basta dividir por esse número.
Passo 5
Para a curvatura usamos a relação via
:
- Em geral
.
Comoé constante, uma forma prática é notar que quando a velocidade tem módulo constante (porque e a derivada simplifica). Assim:
O módulo de
é
Agora a curvatura:
Observação didática: aqui a curvatura é constante e vale
. Outra fórmula alternativa (que daria o mesmo resultado) é
.
Passo 6
Agora o vetor normal unitário:
. Usando
e
,
Substituindo
,
Verificação rápida (didática): o produto escalar
deve ser zero. Calculando mentalmente observa-se que as componentes em
se combinam e cancelam de acordo com as identidades trigonométricas, confirmando a ortogonalidade.
Passo 7
Resumo das expressões finais (já obtidas nos passos anteriores):