Determine a curvatura de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para determinar a curvatura da curva
. Ou seja, quer-se a função
que mede a curvatura do gráfico de
em cada ponto
.
Informações dadas:
- A função:
.
O que é pedido:
- Acurvatura
da curva para todo .
Passo 2
Formula que vamos usar e explicação didática.
Para uma curva dada como gráfico de uma função
, com
duas vezes diferenciável, a curvatura
em cada ponto pode ser calculada por esta fórmula (uma forma padrão em cálculo diferencial):
Explicação do que cada símbolo significa:
-
é a derivada primeira de em , isto é, a inclinação da reta tangente ao gráfico em . -
é a derivada segunda de em , que mede a curvatura local da função (como a inclinação da tangente está mudando). - O denominador
normaliza a taxa de variação da direção da tangente em relação ao comprimento de arco (por isso aparece um ). A presença do valor absoluto em garante que seja não-negativa (curvatura é sempre ).
Breve motivação (intuitiva): a curvatura mede quanto a direção da tangente gira por unidade de comprimento. A derivada segunda indica a velocidade de variação da inclinação, e dividir por
converte essa variação por unidade de
para variação por unidade de comprimento de arco.
Passo 3
Calcular as derivadas de
passo a passo (regra do polinômio / regra do poder):
Regra do poder: a derivada de
é
.
Aplicando:
Derivando novamente:
Comentário:
é sempre
, sendo zero apenas em
.
Passo 4
Substituir
e
na fórmula da curvatura e simplificar cuidadosamente.
Começando pela substituição direta:
Calcular
:
Como
para todo
, podemos remover o valor absoluto:
Passo 5
Interpretações e valores particulares (para fixar a ideia).
- Em
: . Ou seja, no ponto de mínimo do a curvatura é zero (a curva está relativamente “achatada” ali). - Em
: . - Comportamento para
: como o numerador cresce como e o denominador como , tem-se . Ou seja, para grandes a curva fica muito menos curva (aproxima-se de uma reta localmente).
Passo 6
(Bônus didático) Onde a curvatura é máxima? — procedimento breve.
Queremos resolver
. Fazendo o cálculo (produto e cadeia) obtém-se, após simplificar:
Os zeros ocorrem em
e em
, isto é,
Analisando sinais e limites (curvatura
em
e em
), conclui-se que
são pontos de máximo da curvatura. O valor máximo é, substituindo
na expressão de
,
(Apenas um extra para aprendizado; não era solicitado diretamente, mas ajuda a entender o perfil da curvatura.)