Determine a curvatura de
f(x)=x^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=x^{4},
e pede para determinar a curvatura da curva y=f(x). Ou seja, quer-se a função \kappa(x) que mede a curvatura do gráfico de y=x^{4} em cada ponto x.
Informações dadas:
  • A função: f(x)=x^{4}.
O que é pedido:
  • Acurvatura \kappa(x) da curva y=f(x) para todo x.

Passo 2

Formula que vamos usar e explicação didática.
Para uma curva dada como gráfico de uma função y=f(x), com f duas vezes diferenciável, a curvatura \kappa(x) em cada ponto pode ser calculada por esta fórmula (uma forma padrão em cálculo diferencial):
\kappa(x)=\frac{|f''(x)|}{\bigl(1+(f'(x))^{2}\bigr)^{3/2}}.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • f'(x) é a derivada primeira de f em x, isto é, a inclinação da reta tangente ao gráfico em x.
  • f''(x) é a derivada segunda de f em x, que mede a curvatura local da função (como a inclinação da tangente está mudando).
  • O denominador \bigl(1+(f'(x))^{2}\bigr)^{3/2} normaliza a taxa de variação da direção da tangente em relação ao comprimento de arco (por isso aparece um 3/2). A presença do valor absoluto em |f''(x)| garante que \kappa(x) seja não-negativa (curvatura é sempre \ge0).
Breve motivação (intuitiva): a curvatura mede quanto a direção da tangente gira por unidade de comprimento. A derivada segunda indica a velocidade de variação da inclinação, e dividir por (1+(f')^{2})^{3/2} converte essa variação por unidade de x para variação por unidade de comprimento de arco.

Passo 3

Calcular as derivadas de f(x)=x^{4} passo a passo (regra do polinômio / regra do poder):
Regra do poder: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
Aplicando:
f'(x)=4x^{3}.
Derivando novamente:
f''(x)=12x^{2}.
Comentário: f''(x)=12x^{2} é sempre \ge0, sendo zero apenas em x=0.

Passo 4

Substituir f'(x) e f''(x) na fórmula da curvatura e simplificar cuidadosamente.
Começando pela substituição direta:
\kappa(x)=\frac{|12x^{2}|}{\bigl(1+(4x^{3})^{2}\bigr)^{3/2}}.
Calcular (4x^{3})^{2}:
(4x^{3})^{2}=16x^{6}.
Como 12x^{2}\ge0 para todo x, podemos remover o valor absoluto:
\kappa(x)=\frac{12x^{2}}{\bigl(1+16x^{6}\bigr)^{3/2}}.

Passo 5

Interpretações e valores particulares (para fixar a ideia).
  • Em x=0: \kappa(0)=\dfrac{12\cdot 0^{2}}{(1+16\cdot 0^{6})^{3/2}}=0. Ou seja, no ponto de mínimo do x^{4} a curvatura é zero (a curva está relativamente “achatada” ali).
  • Em x=1: \kappa(1)=\dfrac{12}{(1+16)^{3/2}}=\dfrac{12}{17^{3/2}}.
  • Comportamento para |x|\to\infty: como o numerador cresce como x^{2} e o denominador como (16x^{6})^{3/2}=64x^{9}, tem-se \kappa(x)\sim \dfrac{3}{16} x^{-7}\to 0. Ou seja, para grandes |x| a curva fica muito menos curva (aproxima-se de uma reta localmente).

Passo 6

(Bônus didático) Onde a curvatura é máxima? — procedimento breve.
Queremos resolver \kappa'(x)=0. Fazendo o cálculo (produto e cadeia) obtém-se, após simplificar:
\kappa'(x)=\frac{24x\bigl(1-56x^{6}\bigr)}{\bigl(1+16x^{6}\bigr)^{5/2}}.
Os zeros ocorrem em x=0 e em 1-56x^{6}=0, isto é,
x^{6}=\frac{1}{56}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\left(\frac{1}{56}\right)^{1/6}.
Analisando sinais e limites (curvatura \to0 em x=0 e em |x|\to\infty), conclui-se que x=\pm\left(\dfrac{1}{56}\right)^{1/6} são pontos de máximo da curvatura. O valor máximo é, substituindo x^{6}=1/56 na expressão de \kappa,
\kappa_{\max}=\frac{12\,(1/56)^{1/3}}{\bigl(1+16(1/56)\bigr)^{3/2}} =\frac{2}{9}\,7^{7/6}\approx 2{,}152.
(Apenas um extra para aprendizado; não era solicitado diretamente, mas ajuda a entender o perfil da curvatura.)

Resposta

\kappa(x)=\frac{12x^{2}}{\bigl(1+16x^{6}\bigr)^{3/2}}

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