Encontre a série de maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. (Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) longrightarrow 0.) Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=x^4-3 x^2+1, a=-2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos a série de Maclaurin (expansão em torno de a=0) de f(x)=x^4-3x^2+1 usando a definição baseada nas derivadas em zero. Depois disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Cálculo das derivadas em x=0:
f(0)=1
f'(x)=4x^3-6x f'(0)=0
f''(x)=12x^2-6 f''(0)=-6
f'''(x)=24x f'''(0)=0
f''''(x)=24 f''''(0)=24
Para n>=5, f^(n)(0)=0.

Passo 3

Aplicação da definição da série de Maclaurin:
$$
f(x)=
,\sum_{n=0}^{
fty}\frac{f{(n)}(0)}{n!},xn
f(x)= ,sumn=0^ ftyf^(n)(0)n!,x^n ã
f(x)=\frac{1}{0!}x0+\frac{-6}{2!}x2+\frac{24}{4!}x^4
=1-3x2+x4
$$

Passo 4

Determinação do raio de convergência: como f é um polinômio, sua série de potências coincide com ele mesmo e converge para todo x. Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

f(x)=1-3x^2+x^4, com raio de convergência R=infty.

Exercícios relacionados