Encontre a série de maclaurin de
usando a definição de uma série de Maclaurin. (Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.) Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos a série de Maclaurin (expansão em torno de
) de
usando a definição baseada nas derivadas em zero. Depois disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Cálculo das derivadas em
:
f(0)=1
⇒
⇒
⇒
⇒
Para ,
.
f(0)=1
Para
Passo 3
Aplicação da definição da série de Maclaurin:
$$
f(x)=
,\sum_{n=0}^{
f(x)=
,\sum_{n=0}^{
fty}\frac{f{(n)}(0)}{n!},xn
f(x)=\frac{1}{0!}x0+\frac{-6}{2!}x2+\frac{24}{4!}x^4
=1-3x2+x4
=1-3x2+x4
$$
Passo 4
Determinação do raio de convergência: como
é um polinômio, sua série de potências coincide com ele mesmo e converge para todo
. Portanto, o raio de convergência é infinito.