Determine a curvatura de \mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}, \ln t, t \ln t\right\rangle no ponto (1,0,0).
Encontre a curvatura de \mathbf{r}(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right) no ponto (1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a curvatura de duas curvas espaço paramétricas. O conteúdo necessário é a fórmula da curvatura de uma curva \mathbf r(t) em termos das derivadas:
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf r'(t)\times \mathbf r''(t)\|}{\|\mathbf r'(t)\|^{3}}.
Vamos aplicar essa fórmula em cada caso, identificando o valor de t correspondente ao ponto dado.

Passo 2

Para \mathbf r(t)=\langle t^{2},\ln t,t\ln t\rangle, primeiro calculamos
\mathbf r'(t)=\langle 2t,\tfrac1t,\ln t+1\rangle, \quad \mathbf r''(t)=\langle 2,-\,\tfrac1{t^{2}},\tfrac1t\rangle.
O ponto (1,0,0) corresponde a t=1. Assim,
\mathbf r'(1)=\langle2,1,1\rangle, \quad \mathbf r''(1)=\langle2,-1,1\rangle.
O produto vetorial é
\mathbf r'(1)\times \mathbf r''(1) =\langle2,1,1\rangle\times\langle2,-1,1\rangle =\langle2,0,-4\rangle,
cuja norma é \|\langle2,0,-4\rangle\|=2\sqrt{5}. A norma de \mathbf r'(1) é \sqrt{2^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}. Logo a curvatura naquele ponto é
\kappa_{1} =\frac{2\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^{3}} =\frac{2\sqrt{5}}{6\sqrt{6}} =\frac{\sqrt{30}}{18}.

Passo 3

Para \mathbf r(t)=\langle t,t^{2},t^{3}\rangle, calculamos
\mathbf r'(t)=\langle1,2t,3t^{2}\rangle, \quad \mathbf r''(t)=\langle0,2,6t\rangle.
No ponto (1,1,1) temos t=1, então
\mathbf r'(1)=\langle1,2,3\rangle, \quad \mathbf r''(1)=\langle0,2,6\rangle.
O produto vetorial é
\mathbf r'(1)\times \mathbf r''(1) =\langle1,2,3\rangle\times\langle0,2,6\rangle =\langle6,-6,2\rangle,
com norma \|\langle6,-6,2\rangle\|=2\sqrt{19}. A norma de \mathbf r'(1) é \sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14}. Portanto a curvatura nesse ponto é
\kappa_{2} =\frac{2\sqrt{19}}{(\sqrt{14})^{3}} =\frac{2\sqrt{19}}{14\sqrt{14}} =\frac{\sqrt{19}}{7\sqrt{14}}.

Resposta

A curvatura de \mathbf r(t)=\langle t^{2},\ln t,t\ln t\rangle em (1,0,0) é
\kappa_{1}=\frac{\sqrt{30}}{18},
e a curvatura de \mathbf r(t)=\langle t,t^{2},t^{3}\rangle em (1,1,1) é
\kappa_{2}=\frac{\sqrt{19}}{7\sqrt{14}}.

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