Exercício 2. Encontre uma equação diferencial que admite as duas soluções e^{3 t} e e^{-2 t}.

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral contenha as funções \mathrm e^{3t} e \mathrm e^{-2t}. Vamos usar a teoria de equações diferenciais de segunda ordem e a relação entre raízes da equação característica e as soluções exponenciais.

Passo 2

Se uma EDO de segunda ordem tem soluções fundamentais \mathrm e^{3t} e \mathrm e^{-2t}, então a sua equação característica deve ter raízes
r_1 = 3 \quad\text{e}\quad r_2 = -2.

Passo 3

A equação característica geral de uma EDO do tipo
y'' + a\,y' + b\,y = 0
é
r^2 + a\,r + b = 0.
Queremos que
r^2 + a\,r + b = (r - 3)(r + 2).

Passo 4

Expandindo o produto das raízes,
(r - 3)(r + 2) = r^2 - r - 6.
Portanto, devemos ter
r^2 + a\,r + b = r^2 - r - 6,
o que implica
a = -1, \quad b = -6.

Passo 5

Substituindo a e b na EDO geral, obtemos
y'' - y' - 6y = 0.
Essa equação admite exatamente as soluções \mathrm e^{3t} e \mathrm e^{-2t}.

Resposta

A equação diferencial é
y'' - y' - 6y = 0.

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