Exercício 2. Encontre uma equação diferencial que admite as duas soluções
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral contenha as funções
e
. Vamos usar a teoria de equações diferenciais de segunda ordem e a relação entre raízes da equação característica e as soluções exponenciais.
Passo 2
Se uma EDO de segunda ordem tem soluções fundamentais
e
, então a sua equação característica deve ter raízes
Passo 3
A equação característica geral de uma EDO do tipo
é
Queremos que
Passo 4
Expandindo o produto das raízes,
Portanto, devemos ter
o que implica
Passo 5
Substituindo
e
na EDO geral, obtemos
Essa equação admite exatamente as soluções
e
.
Resposta
A equação diferencial é