Determine os vetores tangente e normal unitários \mathbf{T}(t) e \mathbf{N}(t).
Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
\mathbf{r}(t)=\langle 5 \operatorname{sen} t, t, 5 \cos t\rangle

Passo 1

O enunciado dá a curva
\mathbf{r}(t)=\langle 5\operatorname{sen} t,\;t,\;5\cos t\rangle
e pede os vetores unitários tangente \mathbf{T}(t), normal principal \mathbf{N}(t) e a curvatura \kappa(t).
Para isso vamos usar derivadas para obter \mathbf{r}'(t), depois
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|},
em seguida
\mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|},
e por fim a Fórmula 9 para curvatura em função de t:
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{T}'(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.

Passo 2

Calculemos primeiro
\mathbf{r}'(t)=\langle 5\cos t,\;1,\;-5\operatorname{sen} t\rangle.
A norma é
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(5\cos t)^2+1^2+(-5\operatorname{sen} t)^2} =\sqrt{25(\cos^2t+\operatorname{sen}^2t)+1}=\sqrt{26}.
Logo o vetor tangente unitário é
\mathbf{T}(t) =\frac{1}{\sqrt{26}}\big\langle 5\cos t,\;1,\;-5\operatorname{sen} t\big\rangle.

Passo 3

Derivando \mathbf{T}(t) em relação a t:
\mathbf{T}'(t) =\frac{1}{\sqrt{26}}\big\langle -5\operatorname{sen} t,\;0,\;-5\cos t\big\rangle.
A norma de \mathbf{T}'(t) é
\|\mathbf{T}'(t)\| =\frac{1}{\sqrt{26}}\sqrt{25(\operatorname{sen}^2t+\cos^2t)} =\frac{5}{\sqrt{26}}.
Portanto o vetor normal principal é
\mathbf{N}(t) =\frac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|} =\big\langle -\operatorname{sen} t,\;0,\;-\cos t\big\rangle.

Passo 4

Pela Fórmula 9, a curvatura é
\kappa(t) =\frac{\|\mathbf{T}'(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|} =\frac{\tfrac{5}{\sqrt{26}}}{\sqrt{26}} =\frac{5}{26}.

Resposta

\mathbf{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{26}}\langle 5\cos t,\;1,\;-5\operatorname{sen} t\rangle, \qquad \mathbf{N}(t)=\langle -\operatorname{sen} t,\;0,\;-\cos t\rangle, \qquad \kappa(t)=\frac{5}{26}.

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