Questão 6 (ITA) Seja Q uma matriz quadrada de ordem 4, tal que \operatorname{det}(Q) \neq 0 e Q^{3}+2 Q^{2}=O. Calcule det (Q).
Resp: 16.

Passo 1

O enunciado diz que Q é uma matriz quadrada de ordem 4, invertível (pois \det(Q)\neq0), e satisfaz
Q^{3} + 2\,Q^{2} = O.
O conteúdo envolvido é fatoração de polinômio matricial e uso da invertibilidade para deduzir a forma de Q, seguido do cálculo de determinante.

Passo 2

Fatorando a expressão matricial, obtemos
Q^{2}\:(Q + 2I) = O.
Como Q é invertível, sua potência Q^{2} também é invertível. Logo, num produto de matrizes em que um fator é invertível, o outro deve ser a matriz zero. Assim,
Q + 2I = O \quad\Longrightarrow\quad Q = -2I.

Passo 3

Para calcular \det(Q), usamos que Q = -2I_{4}. Então
\det(Q) = \det\bigl(-2I_{4}\bigr) = (-2)^{4}\,\det(I_{4}) = 16 \cdot 1 = 16.

Resposta

16

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