Utilize coordenadas esféricas.
Calcule \iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V, onde B é a bola com centro na origem e raio 5 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral triple
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dV,
onde B é a bola com centro na origem e raio 5. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Região B é a bola \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 5^{2}\}.
  • Integrando a função x^{2}+y^{2}+z^{2} sobre todo o volume dessa bola.
    A partir daqui vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a conta.

Passo 2

Definimos as coordenadas esféricas (convenção padrão):
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde \rho\ge0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (entre o raio e o eixo z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy. Em palavras: \rho mede “quão longe” do centro, \varphi mede “a inclinação” em relação ao eixo z, e \theta gira ao redor do eixo z.

Passo 3

Explico o elemento de volume em esféricas. Um pequeno elemento de variação (d\rho,d\varphi,d\theta) ocupa um volume aproximado igual ao produto das três dimensões locais:
  • comprimento radial d\rho,
  • comprimento paralelo ao \varphi aproximadamente \rho\,d\varphi,
  • comprimento paralelo ao \theta aproximadamente \rho\sin\varphi\,d\theta.
    Multiplicando, o elemento de volume vira
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Esse fator \rho^{2}\sin\varphi é o Jacobiano da transformação cartesiana \to esférica.

Passo 4

Reescrevemos o integrando em esféricas. Note que
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.
Portanto o integrando vezes o elemento de volume fica
\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dV = \rho^{2}\cdot\big(\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\big)=\rho^{4}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Os limites para a bola de raio 5 são simples em esféricas:
\rho varia de 0 a 5,
\varphi varia de 0 a \pi,
\theta varia de 0 a 2\pi.
Montamos a integral iterada:
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{5}\rho^{4}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

A integral é separável (produto de funções de variáveis distintas), então podemos separar em produtos de integrais:
\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\cdot\;\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\;\cdot\;\int_{0}^{5}\rho^{4}\,d\rho.
Calculamos cada uma:
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \big[-\cos\varphi\big]_{0}^{\pi} = -\cos\pi -(-\cos0)= -(-1)-(-1)=2.
  • \displaystyle \int_{0}^{5}\rho^{4}\,d\rho = \big[\tfrac{\rho^{5}}{5}\big]_{0}^{5} = \frac{5^{5}}{5} = 5^{4} = 625.

Passo 6

Multiplicando os resultados:
2\pi \times 2 \times 625 = 4\pi \times 625 = 2500\pi.
Como checagem rápida (intuitiva): a média de \rho^{2} numa bola é \tfrac{3}{5}R^{2}; multiplicando pela volume \tfrac{4}{3}\pi R^{3} \tfrac{4}{5}\pi R^{5}. Para R=5 isso dá \tfrac{4}{5}\pi\cdot 5^{5}=\!2500\pi, mesmo resultado — bom sinal.

Resposta

\;2500\pi

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