Utilize coordenadas esféricas.
Calcule
, onde
é a bola com centro na origem e raio 5 .
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral triple
onde
é a bola com centro na origem e raio
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Região
é a bola . - Integrando a função
sobre todo o volume dessa bola.
A partir daqui vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a conta.
Passo 2
Definimos as coordenadas esféricas (convenção padrão):
onde
é a distância ao origem,
é o ângulo polar (entre o raio e o eixo
) e
é o ângulo azimutal no plano
. Em palavras:
mede “quão longe” do centro,
mede “a inclinação” em relação ao eixo
, e
gira ao redor do eixo
.
Passo 3
Explico o elemento de volume em esféricas. Um pequeno elemento de variação
ocupa um volume aproximado igual ao produto das três dimensões locais:
- comprimento radial
, - comprimento paralelo ao
aproximadamente , - comprimento paralelo ao
aproximadamente .
Multiplicando, o elemento de volume vira
Esse fator
é o Jacobiano da transformação cartesiana
esférica.
Passo 4
Reescrevemos o integrando em esféricas. Note que
Portanto o integrando vezes o elemento de volume fica
Os limites para a bola de raio
são simples em esféricas:
varia de
a
,
varia de
a
,
varia de
a
.
Montamos a integral iterada:
Montamos a integral iterada:
Passo 5
A integral é separável (produto de funções de variáveis distintas), então podemos separar em produtos de integrais:
Calculamos cada uma:
Passo 6
Multiplicando os resultados:
Como checagem rápida (intuitiva): a média de
numa bola é
; multiplicando pela volume
dá
. Para
isso dá
, mesmo resultado — bom sinal.