Determine: (d) (-2-2 raiz3 i)^14.

Passo 1

O enunciado pede para achar as raízes quartas do número complexo -2-2raiz3,i. O conteúdo principal aqui é representação em forma polar e o uso do Teorema de De Moivre para raízes.

Passo 2

Primeiro vamos escrever -2-2raiz3,i na forma polar. Calcule o módulo r e o argumento theta:
O módulo é
r=raiz(-2)^2+(-2raiz3)^2=raiz4+12=4
O argumento theta satisfaz
tantheta=-2raiz3-2=raiz3,
e como estamos no terceiro quadrante (real e imaginária negativos),
theta=pi+pi3=4pi3

Passo 3

Logo podemos escrever
-2-2raiz3,i=4l(costfrac4pi3+isintfrac4pi3r)

Passo 4

Para extrair as raízes quartas usamos a fórmula
wk=raiz[4]r;l(costfractheta+2kpi4+isintfractheta+2kpi4r), k=0,1,2,3
Aqui raiz[4]4=raiz2 e
theta+2kpi4=4pi/3+2kpi4=pi3+kpi2

Passo 5

Substituindo k=0,1,2,3 obtemos as quatro raízes:
Para k=0:
w0=raiz2l(costfracpi3+isintfracpi3r)=raiz22+iraiz62
Para k=1:
w1=raiz2l(costfrac5pi6+isintfrac5pi6r)=-raiz62+iraiz22
Para k=2:
w2=raiz2l(costfrac4pi3+isintfrac4pi3r)=-raiz22-iraiz62
Para k=3:
w3=raiz2l(costfrac11pi6+isintfrac11pi6r)=raiz62-iraiz22

Resposta

As quatro raízes são
raiz22+iraiz62,;-raiz62+iraiz22,;-raiz22-iraiz62,;raiz62-iraiz22

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