Determine:
(a) raiz[3]-1;

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as raízes cúbicas de –1, ou seja, resolver z^3 = -1. O conteúdo envolve números complexos e o Teorema de De Moivre, e vamos precisar expressar –1 em forma polar e aplicar a fórmula das raízes de ordem 3.

Passo 2

Primeiro, escrevemos –1 em forma polar. O módulo de –1 é 1 e seu argumento principal é pi, podendo acrescentar ciclos de 2pi k:
-1 = e^i(pi + 2pi k)

Passo 3

Pela fórmula das raízes de ordem n, as raízes de re^itheta são
r^1/ne^i(theta + 2pi k)/n, k = 0,1,dots,n-1
Aqui temos r=1, theta=pi e n=3, logo
raiz[3]-1 = e^ipi + 2pi k3, k=0,1,2

Passo 4

Agora basta calcular para cada k:
  • Para k=0: ângulo = pi3, então
    k=1.
  • Para pi+2pi3=pi: ângulo = e^ipi=-1, então k=2.
  • Para pi+4pi3=tfrac5pi3: ângulo = , então

Resposta

tfrac12 + itfracraiz32,;-1,;tfrac12 - itfracraiz32

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