Determine d y / d x das funções definidas por:
f(x)=ln raiz1+4 x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada de f(x) = ln raiz1 + 4x^2 em relação a , ou seja, , da função:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a derivação de funções que envolvem logaritmos e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos utilizar regras de derivação como a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que:
ln raizA = ln A^1/2 = 12 ln A
Aplicando isso à nossa função:
f(x) = ln raiz1 + 4x^2 = 12 ln (1 + 4x^2)

Passo 3

Agora, nossa função está simplificada para:
f(x) = 12 ln (1 + 4x^2)
Vamos derivar esta expressão usando a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta, como ddx ln(u) = 1u cdot dudx , onde , então a derivada é:

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à nossa função:
f'(x) = 12 cdot 11 + 4x^2 cdot ddx(1 + 4x^2)
Primeiro, derivamos o que está dentro do logaritmo:
ddx(1 + 4x^2) = 0 + 8x = 8x

Passo 5

Substituindo a derivada encontrada de volta na expressão:
f'(x) = 12 cdot 11 + 4x^2 cdot 8x
Agora, multiplicamos os termos:
f'(x) = 8x2(1 + 4x^2) = 4x1 + 4x^2

Resposta

A derivada de dydx = 4x1 + 4x^2 em relação a é:

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