Determine d y / d x das funções definidas por:
y=4^sen 2 x

Passo 1

Então, temos o exercício que pede para encontrar a derivada de em relação a . Vamos trabalhar com o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções exponenciais que têm funções no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e o conceito de logaritmos para facilitar a derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma função na forma dydx = a^u(x) cdot ln(a) cdot dudx , onde é uma constante e é uma função de , a derivada de em relação a pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Aqui, é o logaritmo natural de , e é a derivada de em relação a .

Passo 3

No nosso caso, a função é . Comparando com a fórmula geral, temos:
Então, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos derivar dudx = cos(2x) cdot 2 = 2cos(2x) . Usamos a regra da cadeia aqui também. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, substituímos dydx = 4^sin(2x) cdot ln(4) cdot 2cos(2x) , e na fórmula da derivada:

Passo 6

Podemos simplificar a expressão multiplicando os constantes:
dydx = 2ln(4) cdot 4^sin(2x) cdot cos(2x)

Resposta

A derivada de dydx = 2ln(4) cdot 4^sin(2x) cdot cos(2x) em relação a é:

Exercícios relacionados