Determine
das funções definidas por:
Passo 1
Então, temos o exercício que pede para encontrar a derivada de
em relação a
. Vamos trabalhar com o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções exponenciais que têm funções no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e o conceito de logaritmos para facilitar a derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma função na forma
, onde
é uma constante e
é uma função de
, a derivada de
em relação a
pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Aqui,
é o logaritmo natural de
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Comparando com a fórmula geral, temos:
Então, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos derivar
. Usamos a regra da cadeia aqui também. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na fórmula da derivada:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão multiplicando os constantes:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: