Determine d y / d x das funções definidas por:
y=3 x^2 tg x^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada . Estamos lidando com derivadas de funções que são produto de duas funções, então vamos precisar usar a Regra do Produto. Além disso, dentro da função tangente, há uma função composta , o que significa que também vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia.

Passo 2

Vamos começar aplicando a Regra do Produto, que nos diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda. Vamos identificar:
  • Primeira função:
  • Segunda função:

Passo 3

Calculando a derivada da primeira função u'(x) = 6x :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da segunda função v'(x) = sec^2 x^3 cdot 3x^2 = 3x^2 sec^2 x^3 . Aqui, usamos a Regra da Cadeia porque temos uma função composta. Sabemos que a derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, aplicando a Regra do Produto:
dydx = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo as derivadas que encontramos:
dydx = 6x cdot tg x^3 + 3x^2 cdot 3x^2 sec^2 x^3

Passo 6

Simplificando a expressão:
dydx = 6x tg x^3 + 9x^4 sec^2 x^3

Resposta

A derivada da função é:
dydx = 6x tg x^3 + 9x^4 sec^2 x^3

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