Simplifique ao máximo a expressão dada:
y+2+4yy^2-8y

Passo 1

Então, a gente tem essa fração complicada aí: . A matéria que vamos usar aqui é álgebra, especialmente simplificação de frações algébricas. Precisamos manipular os termos pra deixar tudo mais simples, usando operações como fração, fatoração e simplificação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador: y = y cdot yy = y^2y, 2 = 2yy, 4y = 4y . Pra somar essas partes, precisamos de um denominador comum. O denominador comum é y^2y + 2yy + 4y = y^2 + 2y + 4y . Então, reescrevemos cada termo com esse denominador:
Agora, somamos tudo:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador da fração original: y^2 = y^3y, 8y = 8y . Aqui, também precisamos de um denominador comum, que é y^3y - 8y = y^3 - 8y :
Subtraímos os termos:

Passo 4

Agora, nossa expressão ficou assim:
y^2 + 2y + 4yy^3 - 8y
Quando temos uma fração dividida por outra, podemos multiplicar pela inversa. Então, a gente multiplica o numerador pela inversa do denominador:
y^2 + 2y + 4y times yy^3 - 8 = y^2 + 2y + 4y^3 - 8

Passo 5

Vamos ver se conseguimos fatorar o denominador a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) . Isso é uma diferença de cubos, que segue a fórmula:
y^3 - 8 = (y - 2)(y^2 + 2y + 4)
Aqui, e , então:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na nossa expressão:
y^2 + 2y + 4(y - 2)(y^2 + 2y + 4)
Perceba que 1y - 2 aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esses termos:

Resposta

A expressão simplificada é .

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