Simplifique ao máximo a expressão dada:
(t-2)^-1-2^-1+(t+2)^-12

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa simplificar a expressão:
(t-2)^-1 - 2^-1 + (t+2)^-12
Isso envolve operações com potências negativas e frações. Pra resolver isso, vamos aplicar propriedades de potências e operações com frações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número elevado a -1 é igual ao inverso desse número. Ou seja:
(t-2)^-1 = 1t-2 e (t+2)^-1 = 1t+2
Então, substituindo na expressão original, temos:
1t-2 - 12 + 1t+22

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador. Para isso, precisamos colocar todas as frações com um denominador comum. O denominador comum entre 1t-2 = 2(t+2)2(t-2)(t+2) , 12 = (t-2)(t+2)2(t-2)(t+2) e 1t+2 = 2(t-2)2(t-2)(t+2) é .
Vamos reescrever cada termo com esse denominador:

Passo 4

Substituindo de volta no numerador:
2(t+2) - (t-2)(t+2) + 2(t-2)2(t-2)(t+2)
Agora, vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expandimos (t-2)(t+2) = t^2 - 4 :
2(t+2) - (t^2 - 4) + 2(t-2)
Então, substituindo:
2t + 4 - t^2 + 4 + 2t - 4
Distribuindo:

Passo 5

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
(2t + 2t) + (4 + 4 - 4) - t^2 = 4t + 4 - t^2
Reorganizando:
-t^2 + 4t + 4

Passo 6

Voltando à expressão completa, temos:
-t^2 + 4t + 42(t-2)(t+2)
Podemos fatorar o numerador:
-t^2 + 4t + 4 = -(t^2 - 4t - 4)
Mas essa forma não simplifica mais facilmente. Então, mantemos a expressão assim:
-t^2 + 4t + 42(t-2)(t+2)

Resposta

A expressão simplificada é:
-t^2 + 4t + 42(t-2)(t+2)

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