Determine a derivada das funções abaixo:
f(x)=raizx^2-5 cdot raiz[3]x^3+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções que são produtos de duas outras funções. Para isso, vamos precisar usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
  • f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Para derivar , vamos aplicar a Regra do Produto, que diz que:

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de u(x) = (x^2-5)^1/2 :
u'(x) = 12(x^2-5)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2-5
Usando a Regra da Cadeia, a derivada é:

Passo 4

Agora, vamos derivar v(x) = (x^3+4)^1/3 :
v'(x) = 13(x^3+4)^-2/3 cdot 3x^2 = x^2(x^3+4)^2/3
Aplicando a Regra da Cadeia novamente:

Passo 5

Agora que temos f'(x) = xraizx^2-5 cdot (x^3+4)^1/3 + (x^2-5)^1/2 cdot x^2(x^3+4)^2/3 e , vamos substituir na Regra do Produto:

Passo 6

Para simplificar, vamos escrever os termos de forma mais organizada:
f'(x) = x cdot (x^3+4)^1/3raizx^2-5 + x^2 cdot raizx^2-5(x^3+4)^2/3

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = x cdot (x^3+4)^1/3raizx^2-5 + x^2 cdot raizx^2-5(x^3+4)^2/3

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