Determine d y / d x usando a definição.
a) y=1x

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de y = 1x usando a definição de derivada, que é um limite de diferença. O conteúdo envolve a definição de derivada como limh to 0 f(x+h) - f(x)h e algumas manipulações algébricas com frações.

Passo 2

Começamos aplicando a definição de derivada:
dydx = limh to 0 y(x+h)-y(x)h = limh to 0 1x+h - 1xh

Passo 3

Agora vamos subtrair as frações no numerador. Primeiro, igualamos denominadores:
1x+h - 1x = x - (x+h)x(x+h) = x - x - hx(x+h) = -hx(x+h)

Passo 4

Substituindo essa expressão de volta no quociente, temos:
y(x+h)-y(x)h = -hx(x+h)h = -hx(x+h) cdot 1h = -1x(x+h)

Passo 5

Por fim, tomamos o limite quando h to 0:
dydx = limh to 0 l(-1x(x+h)r) = -1x cdot x = -1x^2

Resposta

-1x^2

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