Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
(x+1)^220+(y-1)^236=1;

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar a equação geral e esboçar o gráfico da elipse dada em forma canônica. Esse conteúdo é sobre cônicas — em especial elipse — e vamos precisar reconhecer a forma canônica, identificar centro, semi-eixos, focos e vértices, depois expandir pra forma geral.

Passo 2

Observando a forma canônica (x+1)^220 + (y-1)^236 = 1, vemos que o centro é (-1,1). O maior denominador é 36, então a^2 = 36 e a = 6 (eixo maior vertical). O menor denominador é 20, logo b^2 = 20 e b = raiz20 = 2raiz5 (eixo menor horizontal).

Passo 3

Para encontrar os vértices e focos ao longo do eixo maior vertical: vértices em (-1,,1pm a) = (-1,7) e (-1,-5). O cálculo de c (distância dos focos ao centro) vem de c^2 = a^2 - b^2 = 36 - 20 = 16, então c = 4. Assim os focos são (-1,,1pm 4) = (-1,5) e (-1,-3).

Passo 4

Os extremidades do eixo menor (co-vértices) ficam em (-1pm b,1) = (-1 pm 2raiz5,,1). Com isso já temos todos os pontos necessários para esboçar: centro em (-1,1), vértices verticais, co-vértices horizontais e focos.

Passo 5

Para obter a equação geral, multiplicamos ambos os lados por 180 (o m.m.c. de 20 e 36):
9(x+1)^2 + 5(y-1)^2 = 180
Expandindo:
9(x^2+2x+1) + 5(y^2 - 2y +1) - 180 = 0
9x^2 + 18x + 9 + 5y^2 - 10y + 5 - 180 = 0
9x^2 + 5y^2 + 18x - 10y - 166 = 0

Passo 6

No esboço, desenhe um retângulo de vértices (-1pm b,1pm a) centrado em (-1,1), trace a elipse passando pelos vértices e co-vértices, marque os focos em (-1,5) e (-1,-3) e destaque os eixos de simetria horizontal e vertical.

Resposta

9x^2 + 5y^2 + 18x - 10y - 166 = 0

Exercícios relacionados