Obtenha uma representação por série de potências da função
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede uma representação por série de potências da função $ f(x) = x \cdot e{x{2}} $. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de séries de potências, mais especificamente a série de Taylor para a função exponencial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a expansão da série de $ e^{x} $ e adaptá-la para $ e{x{2}} $, e depois multiplicar pelo $ x $.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série de potências da função exponencial $ e^{x} $ é dada por:
Isso significa que podemos escrever $ e^{x} $ como uma soma infinita de termos envolvendo potências de $ x $.
Passo 3
Agora, vamos substituir $ x $ por $ x^{2} $ na série de $ e^{x} $ para encontrar a série de $ e{x{2}} $:
Aqui, cada termo da série agora envolve $ x $ elevado a uma potência par, devido ao $ x^{2} $.
Passo 4
Finalmente, vamos multiplicar a série de $ e{x{2}} $ pela função $ x $ para obter a série de potência de $ f(x) $:
Isso significa que cada termo da série de $ f(x) $ terá $ x $ elevado a uma potência ímpar.
Resposta
A representação por série de potências da função $ f(x) = x \cdot e{x{2}} $ é: