Obtenha uma representação por série de potências da função f(x)=x cdot e^x^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede uma representação por série de potências da função $ f(x) = x \cdot e{x{2}} $. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de séries de potências, mais especificamente a série de Taylor para a função exponencial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a expansão da série de $ e^{x} $ e adaptá-la para $ e{x{2}} $, e depois multiplicar pelo $ x $.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série de potências da função exponencial $ e^{x} $ é dada por:
e^x
Isso significa que podemos escrever $ e^{x} $ como uma soma infinita de termos envolvendo potências de $ x $.

Passo 3

Agora, vamos substituir $ x $ por $ x^{2} $ na série de $ e^{x} $ para encontrar a série de $ e{x{2}} $:
x
Aqui, cada termo da série agora envolve $ x $ elevado a uma potência par, devido ao $ x^{2} $.

Passo 4

Finalmente, vamos multiplicar a série de $ e{x{2}} $ pela função $ x $ para obter a série de potência de $ f(x) $:
e^x^2
Isso significa que cada termo da série de $ f(x) $ terá $ x $ elevado a uma potência ímpar.

Resposta

A representação por série de potências da função $ f(x) = x \cdot e{x{2}} $ é:
f(x) = x cdot e^x^2

Exercícios relacionados