Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
y^24-x^216=1;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a cônica dada por y^24-x^216=1. O conteúdo é hipérbole, e vamos precisar converter para a forma geral, identificar parâmetros a,b,c, centro, vértices, focos e assíntotas.

Passo 2

Multiplicar ambos os lados de y^24-x^216=1 por 16:
4y^2-x^2=16
Reescrever como equação geral:
4y^2-x^2-16=0

Passo 3

Comparar com a forma padrão y^2a^2-x^2b^2=1, identificando a^2=4 e b^2=16. O centro é (0,0). Calcular a=2 e b=4. Os vértices ficam a pm a ao longo do eixo vertical:
Vértices: (0,2) e (0,-2).

Passo 4

Calcular c via c^2=a^2+b^2=4+16=20, logo c=2raiz5. Focos: (0,2raiz5) e (0,-2raiz5).

Passo 5

Assíntotas para hipérbole centrada na origem: y=pmabx. Aqui ab=24=12. Assíntotas:
y=tfracx2e y=-tfracx2

Passo 6

No esboço, marcar o centro em (0,0), os vértices, os focos e desenhar as assíntotas. A curva abre para cima e para baixo, aproximando-se dessas retas.

Resposta

Equação geral: 4y^2 - x^2 - 16 = 0; centro (0,0); vértices (0,±2); focos (0,±2√5); assíntotas y = ±x/2.

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