Determine d yd x por derivação implícita.
y=tg(x+y)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar dydx por derivação implícita na relação
y = tan(x + y)
O conteúdo aqui é derivada de funções trigonométricas e aplicação da regra da cadeia em diferenciação implícita.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, do lado esquerdo temos
ddx[y] = dydx,
e do lado direito, usando a regra da cadeia em tan(u) com u = x + y,
ddx[tan(x+y)] = sec^2(x+y),ddx[,x+y,] = sec^2(x+y),l(1 + dydxr)

Passo 3

Igualando as duas expressões,
dydx = sec^2(x+y),l(1 + dydxr) = sec^2(x+y) + sec^2(x+y),dydx
Agora isolamos dydx em um só lado:
dydx - sec^2(x+y),dydx = sec^2(x+y),
dydxl[1 - sec^2(x+y)r] = sec^2(x+y)

Passo 4

Por fim, resolvemos para dydx:
dydx = sec^2(x+y)1 - sec^2(x+y)
Observando que 1 - sec^2theta = -tan^2theta, temos
dydx = sec^2(x+y)-tan^2(x+y) = -sec^2(x+y)tan^2(x+y) = -csc^2(x+y)

Resposta

dydx = -csc^2(x+y)

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