Exercício 1.12.3. Utilizando os limites fundamentais, calcule os limites:
lim x 0 1x ln (raiz1+x1-x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto01xln!l(raiz1+x1-xr)
O conteúdo principal aqui é usar os limites fundamentais
limuto0ln(1+u)u=1,
além de propriedades de logaritmo e de radicais.

Passo 2

Aplicamos primeiro a identidade lnraizA=tfrac12ln A. Assim,
1xln!l(raiztfrac1+x1-xr) =1xcdot12ln!l(tfrac1+x1-xr) =12xl[ln(1+x)-ln(1-x)r]

Passo 3

Escrevemos o quociente como soma de dois limites que conhecemos:
12xl[ln(1+x)-ln(1-x)r] =12gl(ln(1+x)x-ln(1-x)xgr)

Passo 4

Usamos os limites fundamentais
limxto0ln(1+x)x=1, limxto0ln(1-x)x =limxto0ln(1-x)-xcdot(-1)=(-1)cdot1=-1
Logo,
limxto012l(ln(1+x)x-ln(1-x)xr) =12l(1-(-1)r) =12cdot2=1

Resposta

1

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