Seja ( M, d ) um espaço métrico.
i) Seja (xn)n in N uma sequência convergente e x:=lim n infty xn. Mostre que K:=xn, n in N cupx é um conjunto compacto.
Para os itens abaixo vamos usar a seguinte definição: Seja (xn)n in N uma sequência em M. Dizemos que lim n infty xn=infty, se não existe nenhuma subsequência de (xn)n in N que seja convergente.
ii) Prove que uma sequência (xn)n in N é tal que lim n infty xn=infty se, e somente se, para todo compacto K subset M, o conjunto n in N, xn in K é finito.
iii) Seja (N, tilded) um espaço métrico e f: M N uma função contínua. Mostre que as seguintes propriedades de f são equivalentes:
I) Para toda sequência (xn)n in N de M que satisfaz lim n infty xn=infty, temos que a sequência (f(xn))n in N de N satisfaz lim n infty f(xn)=infty.
II) Para todo compacto K subset N, o conjunto f^-1(K) é um conjunto compacto de M.

Passo 1

O enunciado trabalha com espaços métricos (M,d) e três temas principais:
1 mostrar que, se (xn) converge para x, então
K=xn:ninNcupx
é compacto;
2 usar a definição “ limntoinftyxn=infty” (nenhuma subsequência convergente) para provar
limntoinftyxn=infty ;Long<=ftrightarrow; para todo compacto Ksubset M, n:xnin K é finito; é
3 mostrar que, para fcolon Mto N contínua, as propriedades envolvendo imagens de sequências que vão a “ infty” e pré‐imagens de compactos são equivalentes.
Vamos usar que, em espaços métricos, “compacto” é equivalente a “sequencialmente compacto".

Passo 2

Provar que K=xncupx é sequencialmente compacto. Seja (ym) uma sequência em K.
  • Se há um ponto zin K que aparece em ym para infinitos índices, então escolho uma subsequência constante ymj=z, que converge trivialmente para z.
  • Caso contrário, cada ym seja distinto e igual a algum xn(m). Como xnto x, a própria sequência (xn(m)) converge para x; daí tomo uma subsequência (ymj) que converge para x.
    Em ambos os casos extraímos subsequência convergente em K.

Passo 3

Como K é sequencialmente compacto e estamos em espaço métrico, concluímos que K é compacto. Isso encerra o item (i).

Passo 4

limntoinftyxn=infty” implica que não existe subsequência convergente. Suponha, por contradição, que haja um compacto Ksubset M com infinitos n tais que xnin K. Então a subsequência formada por esses xn vive em K, que é compacto, e por isso tem subsequência convergente, contradizendo a definição de “ir a infty”. Logo, para todo compacto K, n:xnin K é finito.

Passo 5

Agora suponha que para todo compacto Ksubset M o conjunto n:xnin K seja finito e, por contradição, que existe uma subsequência xnj convergente para algum x. Pelo item (i),
K'=xnj:jinNcupx
é compacto e contém infinitos termos da sequência original, o que viola a hipótese. Portanto não há subsequência convergente, isto é, limntoinftyxn=infty. Isso fecha o item (ii).

Passo 6

Provar (I) Rightarrow (II). Seja Ksubset N compacto e considere qualquer sequência (xn) em f^-1(K). Então (f(xn)) está em K, logo tem subsequência convergente (f(xnj))to yin K. Se (xnj) fosse tal que lim xnj=infty, então (I) forçaria lim f(xnj)=infty, impossível pois converge em K. Logo (xnj) não vai a infty, ou seja, possui subsequência convergente em M. Assim f^-1(K) é sequencialmente compacto e, por ser métrico, é compacto. Concluímos (II).

Passo 7

Provar (II) Rightarrow (I). Seja (xn) em M com lim xn=infty e suponha, por contradição, que (f(xn)) não vá a infty. Então existe uma subsequência (f(xnj)) convergente em N. Defina
K=,lim f(xnj)cupf(xnj):jinN,
que é compacto, e então f^-1(K) é compacto por (II). Mas xnjin f^-1(K) para todos j, dando infinitos termos em um compacto de M, o que contradiz lim xn=infty pelo item (ii). Logo lim f(xn)=infty, provando (I).

Resposta

i) K=xncupx é compacto.
ii) limntoinftyxn=infty se, e somente se, para todo compacto Ksubset M o conjunto n:xnin K é finito.
iii) Para fcolon Mto N contínua, valem (I) e (II) simultaneamente, ou seja, (I) Long<=ftrightarrow (II).

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