Seja (
) um espaço métrico.
i) Seja
uma sequência convergente e
. Mostre que
é um conjunto compacto.
Para os itens abaixo vamos usar a seguinte definição: Seja
uma sequência em
. Dizemos que
, se não existe nenhuma subsequência de
que seja convergente.
ii) Prove que uma sequência
é tal que
se, e somente se, para todo compacto
, o conjunto
é finito.
iii) Seja
um espaço métrico e
uma função contínua. Mostre que as seguintes propriedades de
são equivalentes:
I) Para toda sequência
de
que satisfaz
, temos que a sequência
de
satisfaz
.
II) Para todo compacto
, o conjunto
é um conjunto compacto de
.
i) Seja
ii) Prove que uma sequência
iii) Seja
I) Para toda sequência
II) Para todo compacto
Passo 1
O enunciado trabalha com espaços métricos
e três temas principais:
mostrar que, se
converge para
, então
é compacto;
usar a definição “
” (nenhuma subsequência convergente) para provar
Vamos usar que, em espaços métricos, “compacto” é equivalente a “sequencialmente compacto".
Passo 2
Provar que
é sequencialmente compacto. Seja
uma sequência em
.
- Se há um ponto
que aparece em para infinitos índices, então escolho uma subsequência constante , que converge trivialmente para . - Caso contrário, cada
seja distinto e igual a algum . Como , a própria sequência converge para ; daí tomo uma subsequência que converge para .
Em ambos os casos extraímos subsequência convergente em.
Passo 3
Como
é sequencialmente compacto e estamos em espaço métrico, concluímos que
é compacto. Isso encerra o item (i).
Passo 4
“
” implica que não existe subsequência convergente. Suponha, por contradição, que haja um compacto
com infinitos
tais que
. Então a subsequência formada por esses
vive em
, que é compacto, e por isso tem subsequência convergente, contradizendo a definição de “ir a
”. Logo, para todo compacto
,
é finito.
Passo 5
Agora suponha que para todo compacto
o conjunto
seja finito e, por contradição, que existe uma subsequência
convergente para algum
. Pelo item (i),
é compacto e contém infinitos termos da sequência original, o que viola a hipótese. Portanto não há subsequência convergente, isto é,
. Isso fecha o item (ii).
Passo 6
Provar (I)
(II). Seja
compacto e considere qualquer sequência
em
. Então
está em
, logo tem subsequência convergente
. Se
fosse tal que
, então (I) forçaria
, impossível pois converge em
. Logo
não vai a
, ou seja, possui subsequência convergente em
. Assim
é sequencialmente compacto e, por ser métrico, é compacto. Concluímos (II).
Passo 7
Provar (II)
(I). Seja
em
com
e suponha, por contradição, que
não vá a
. Então existe uma subsequência
convergente em
. Defina
que é compacto, e então
é compacto por (II). Mas
para todos
, dando infinitos termos em um compacto de
, o que contradiz
pelo item (ii). Logo
, provando (I).
Resposta
i)
é compacto.
ii) se, e somente se, para todo compacto
o conjunto
é finito.
iii) Para contínua, valem (I) e (II) simultaneamente, ou seja, (I)
(II).
ii)
iii) Para