Determine d yd x da equação e^x+2 y=1 por meio da derivação implícita. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita e^x+2y=1 e pede para encontrarmos dydx usando derivação implícita. O conteúdo é derivação de funções compostas (regra da cadeia) aplicado a uma exponencial.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Do lado esquerdo temos uma exponencial e^u com u=x+2y. Ao aplicar a regra da cadeia, obtemos:
ddxl(e^x+2yr)=e^x+2ycdotddx(x+2y)
Precisamos agora derivar x+2y em relação a x. Como y depende de x, vale:
ddx(x+2y)=1+2dydx
Portanto a derivada da exponencial é:
$$
e^{x+2y}\bigl(1+2\tfrac{dy}{dx}\bigr) e^x+2yl(1+2tfracdydxr)éãé
e^{x+2y}\bigl(1+2\tfrac{dy}{dx}\bigr)=0 1é
1+2\tfrac{dy}{dx}=0
$$

Passo 3

Daí vem que
tfracdydx=-tfrac12

Resposta

dydx=-12

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