Encontre a derivada das seguintes funções e justifique sua resposta.
(1,0 ponto ) y=(2 raizx2 raizx+1)^2.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=l(2raizx2raizx+1r)^2, ou seja, vamos usar regras de derivação de função composta (regra da cadeia) e derivação de quociente.

Passo 2

Vamos definir u(x)=2raizx2raizx+1 de modo que y=[u(x)]^2. Pela regra da cadeia temos:
y' = 2,u(x),u'(x)

Passo 3

Para calcular u'(x) usamos a regra do quociente. Seja
N(x)=2raizx=2x^1/2, D(x)=2raizx+1=2x^1/2+1 Então
N'(x)=2cdottfrac12x^-1/2=x^-1/2=tfrac1raizx, D'(x)=2cdottfrac12x^-1/2=tfrac1raizx

Passo 4

Pela regra do quociente
u'(x)=N'(x)D(x)-N(x)D'(x)[D(x)]^2 =tfrac1raizx(2raizx+1)-2raizxcdottfrac1raizx(2raizx+1)^2 No numerador,
tfrac2raizxraizx+tfrac1raizx-tfrac2raizxraizx=2+tfrac1raizx-2=tfrac1raizx, logo
$$u’(x)=\frac{1/\sqrt{x}}{(2\sqrt{x}+1)^2}.
$$

Passo 5

Substituindo em y':
y'=2,u(x),u'(x)=2cdot2raizx2raizx+1cdot1/raizx(2raizx+1)^2 =4(2raizx+1)^3

Resposta

y'=dfrac4(2raizx+1)^3

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