Determine d yd x, onde x arccos (x+y)-pi=y^2.

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x;arccosl(x+yr);-;pi ;=; y^2
e pede dydx.
O que vamos usar:
– Derivada implícita em relação a x.
– Regra do produto para xcdotarccos(x+y).
– Regra da cadeia e a fórmula
ddul[arccos(u)r] = -1raiz1-u^2

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, a derivada de pi é zero, e de xarccos(x+y) usamos produto e cadeia:
ddxl[x,arccos(x+y)r] = underbrace1d(x)cdotarccos(x+y) + xcdotddxl[arccos(x+y)r]
Como u=x+y tem du/dx=1+y', obtemos
ddxl[arccos(x+y)r] = -1+y'raiz1-(x+y)^2
Logo
ddxl[x,arccos(x+y)r] = arccos(x+y) - x,(1+y')raiz1-(x+y)^2
No lado direito,
ddx(y^2)=2y,y'
Igualando, temos
arccos(x+y) - x,(1+y')raiz1-(x+y)^2 = 2y,y'

Passo 3

Agora isolamos y'. Primeiro transporte o termo livre para o outro lado:
arccos(x+y) = x,(1+y')raiz1-(x+y)^2 + 2y,y'
Multiplicando por raiz1-(x+y)^2:
arccos(x+y),raiz1-(x+y)^2 = x,(1+y') + 2y,y',raiz1-(x+y)^2
Distribuindo em x(1+y') e agrupando os termos com y':
arccos(x+y),raiz1-(x+y)^2 = x + y',l[x+2y,raiz1-(x+y)^2r]
Finalmente
y',l[x+2y,raiz1-(x+y)^2r] = arccos(x+y),raiz1-(x+y)^2 - x,
y' = arccos(x+y),raiz1-(x+y)^2-x x+2y,raiz1-(x+y)^2

Resposta

dydx = arccos(x+y),raiz1-(x+y)^2-x x+2y,raiz1-(x+y)^2

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